त्रिभुज

यह क्यों मायने रखता है

माउंट एवरेस्ट की ऊँचाई या चाँद की दूरी आख़िर किसी ने नापी कैसे — बिना उस पर चढ़े या वहाँ टेप लेकर पहुँचे? नापी जा ही नहीं सकती। फिर भी दोनों आँकड़े हमें पता हैं। राज़ है अप्रत्यक्ष मापन — और यह एक ख़ूबसूरत विचार पर टिका है: जिन आकृतियों का आकार-स्वरूप एक जैसा हो, वे अनुमानित और समानुपाती ढंग से व्यवहार करती हैं, भले ही उनका साइज़ बहुत अलग हो।

ताजमहल की एक तस्वीर डाक-टिकट के साइज़ में और वही तस्वीर पोस्टकार्ड के साइज़ में — साफ़ है कि दोनों का स्वरूप एक ही है: हर लंबाई बस उसी गुणक से बढ़ी है, और हर कोण वैसा का वैसा है। “स्वरूप एक, साइज़ अलग” के इस रिश्ते को समरूपता कहते हैं, और त्रिभुजों में यह एक सटीक औज़ार बन जाता है।

जैसे ही आप कह पाते हैं कि “यह छोटा त्रिभुज उस बड़े त्रिभुज के समरूप है”, आप एक नापने-योग्य लंबाई (छोटा त्रिभुज) को एक न-नापी-जा-सकने वाली लंबाई (बड़ा त्रिभुज) में बदल सकते हैं — बस अनुपातों को बराबर रखकर। एक 6 मीटर के खंभे और उसकी 4 मीटर लंबी परछाईं से आप किसी मीनार की ऊँचाई उसकी परछाईं से निकाल सकते हैं। यही तर्क नक्शों के पैमाने, ब्लूप्रिंट और पाइथागोरस प्रमेय की उपपत्ति को चलाता है। यह अध्याय वही औज़ार ज़मीन से बनाता है।

मूल विचार

दो आकृतियाँ समरूप होती हैं अगर उनका स्वरूप एक जैसा हो — बहुभुजों के लिए इसका मतलब है संगत कोण बराबर और संगत भुजाएँ समान अनुपात में। त्रिभुजों में यह विचार ताक़तवर और किफ़ायती बन जाता है: छहों चीज़ें जाँचने की ज़रूरत नहीं। आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय कहता है कि त्रिभुज की एक भुजा के समांतर खींची रेखा बाक़ी दो भुजाओं को समान अनुपात में काटती है — और इसी से सरल शॉर्टकट (AA, SSS, SAS) निकलते हैं जिनसे सिर्फ़ तीन बातें जाँचकर दो त्रिभुजों को समरूप घोषित किया जा सकता है। फिर समरूप त्रिभुज वे लंबाइयाँ निकालने देते हैं जिन्हें आप कभी सीधे नाप ही नहीं सकते।

आइए इसे समझें

समरूप आकृतियाँ और समरूप त्रिभुज

कक्षा IX से याद कीजिए: दो आकृतियाँ सर्वांगसम होती हैं अगर उनका स्वरूप और साइज़ दोनों एक हों। समरूपता में “स्वरूप एक” तो रहता है पर “साइज़ एक” वाली शर्त हट जाती है।

• सभी वृत्त समरूप होते हैं। सभी वर्ग समरूप होते हैं। सभी समबाहु त्रिभुज समरूप होते हैं।
• हर सर्वांगसम जोड़ी समरूप होती है, पर समरूप जोड़ी का सर्वांगसम होना ज़रूरी नहीं।

समान संख्या में भुजाओं वाले बहुभुजों के लिए “स्वरूप एक” को दो शर्तें मिलकर पकड़ती हैं:

1. संगत कोण बराबर हों, और
2. संगत भुजाएँ समान अनुपात (समानुपात) में हों।

इस उभयनिष्ठ अनुपात को पैमाना गुणक (scale factor) कहते हैं। ध्यान दें — बहुभुजों के लिए दोनों शर्तें ज़रूरी हैं। वर्ग और समचतुर्भुज की भुजाएँ समानुपाती हैं (सब बराबर) पर कोण बराबर नहीं — समरूप नहीं। वर्ग और आयत के कोण बराबर हैं पर भुजाएँ समानुपाती नहीं — यह भी समरूप नहीं।

त्रिभुजों के लिए हम समरूपता को ∼ चिह्न से लिखते हैं। जब हम △ABC ∼ △DEF कहते हैं, तो अक्षरों का क्रम मायने रखता है — यह संगति बताता है: A↔D, B↔E, C↔F। यानी

∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F और AB/DE = BC/EF = CA/FD।

Tap to zoom

आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय)

यह पूरे अध्याय का इंजन है।

प्रमेय 6.1 (BPT)। यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर रेखा खींची जाए जो अन्य दो भुजाओं को भिन्न बिंदुओं पर काटे, तो वे अन्य दो भुजाएँ समान अनुपात में विभाजित हो जाती हैं।

Tap to zoom

दिया है: त्रिभुज ABC, जिसमें BC के समांतर रेखा AB को D पर और AC को E पर मिलती है। सिद्ध करना है: AD/DB = AE/EC।

रचना: BE और CD मिलाइए। E से EN ⊥ AB और D से DM ⊥ AC खींचिए।

Tap to zoom

उपपत्ति। त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई।

AD को आधार और EN को संगत ऊँचाई लेने पर: ar(ADE) = ½ × AD × EN। DB को आधार और वही ऊँचाई EN लेने पर: ar(BDE) = ½ × DB × EN।

तो ar(ADE) / ar(BDE) = (½ × AD × EN) / (½ × DB × EN) = AD/DB … (1)

अब दूसरी जोड़ी ऊँचाइयाँ लीजिए। AE को आधार और DM को ऊँचाई लेने पर: ar(ADE) = ½ × AE × DM, और EC को आधार व वही ऊँचाई DM लेने पर: ar(DEC) = ½ × EC × DM। तो

ar(ADE) / ar(DEC) = AE/EC … (2)

अब मुख्य बात: △BDE और △DEC एक ही आधार DE पर खड़े हैं और एक ही समांतर रेखाओं DE और BC के बीच हैं। एक ही आधार पर और एक ही समांतर रेखाओं के बीच के त्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर होते हैं, इसलिए

ar(BDE) = ar(DEC) … (3)

(1), (2) और (3) से, बाएँ पक्ष ar(ADE)/ar(BDE) और ar(ADE)/ar(DEC) बराबर हैं (अंश एक ही, हर बराबर), अतः

AD/DB = AE/EC। ∎

BPT का विलोम

उल्टा कथन भी सही है — और उतना ही काम का, क्योंकि यह सिर्फ़ एक अनुपात से रेखा के समांतर होने को सिद्ध करने देता है।

प्रमेय 6.2 (BPT का विलोम)। यदि कोई रेखा किसी त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करे, तो वह रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है।

यह क्यों ठीक है। मान लीजिए △ABC में एक रेखा AB को D पर और AC को E पर इस तरह मिलती है कि AD/DB = AE/EC, पर DE, BC के समांतर नहीं है। तब D से होकर एक और रेखा DE′ खींचिए जो BC के समांतर हो, जहाँ E′, AC पर है। BPT (प्रमेय 6.1) से AD/DB = AE′/E′C। दिए हुए AD/DB = AE/EC से तुलना करने पर AE/EC = AE′/E′C। दोनों ओर 1 जोड़िए:

AE/EC + 1 = AE′/E′C + 1 → (AE + EC)/EC = (AE′ + E′C)/E′C → AC/EC = AC/E′C।

तो EC = E′C, जो E और E′ को संपाती (एक ही) होने पर मजबूर करता है। पर इसका मतलब है कि DE वही रेखा है जो DE′, जो BC के समांतर थी। अतः DE ∥ BC। ∎

त्रिभुजों की समरूपता की कसौटियाँ

छहों शर्तें (तीन कोण + तीन भुजा-अनुपात) जाँचना थका देने वाला है। त्रिभुजों के लिए सिर्फ़ तीन बातें काफ़ी हैं। तीन कसौटियाँ हैं, और हर एक एक प्रमेय है जिसे यह अध्याय स्थापित करता है।

प्रमेय 6.3 — AAA (और इसी से AA)। यदि दो त्रिभुजों में संगत कोण बराबर हों, तो उनकी संगत भुजाएँ समान अनुपात में होती हैं और त्रिभुज समरूप होते हैं।

उपपत्ति का सार। मान लीजिए △ABC और △DEF में ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F। DE और DF पर DP = AB और DQ = AC काटिए, और PQ मिलाइए। तब △ABC ≅ △DPQ (SAS: DP = AB, DQ = AC, अंतर्गत ∠D = ∠A)। तो ∠DPQ = ∠B = ∠E, जिससे PQ ∥ EF (संगत कोण बराबर)। △DEF में BPT लगाने पर DP/PE = DQ/QF, और हर ओर 1 जोड़ने पर DE/DP = DF/DQ, यानी AB/DE = AC/DF। दूसरी भुजा-जोड़ी के साथ दोहराने पर AB/DE = BC/EF = AC/DF। अतः त्रिभुज समरूप हैं। ∎

चूँकि त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है, अगर दो कोण मिल जाएँ तो तीसरा भी ज़रूर मिलेगा। इसलिए AAA को आम तौर पर AA के रूप में इस्तेमाल किया जाता है: दो जोड़ी बराबर कोण काफ़ी हैं।

प्रमेय 6.4 — SSS। यदि एक त्रिभुज की भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की भुजाओं के समानुपाती हों, तो उनके संगत कोण बराबर होते हैं और त्रिभुज समरूप होते हैं।

उपपत्ति का सार। मान लीजिए AB/DE = BC/EF = CA/FD। DE, DF पर DP = AB और DQ = AC काटिए और PQ मिलाइए। दिए अनुपातों से दिखाया जा सकता है कि DP/PE = DQ/QF, इसलिए PQ ∥ EF और DP/DE = DQ/DF = PQ/EF। दिए अनुपातों के साथ मिलाने पर PQ = BC। अब △ABC ≅ △DPQ (SSS), इसलिए ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F, और त्रिभुज समरूप हैं। ∎

प्रमेय 6.5 — SAS। यदि एक त्रिभुज का एक कोण दूसरे के एक कोण के बराबर हो और इन कोणों को अंतर्गत करने वाली भुजाएँ समानुपाती हों, तो त्रिभुज समरूप होते हैं।

उपपत्ति का सार। मान लीजिए ∠A = ∠D और AB/DE = AC/DF। DE, DF पर DP = AB, DQ = AC काटिए और PQ मिलाइए। भुजा-अनुपातों से PQ ∥ EF, इसलिए △ABC ≅ △DPQ (SAS) और ∠B = ∠E, ∠C = ∠F। अतः △ABC ∼ △DEF। ∎

आम गलतियाँ

झटपट जाँच

अभ्यास प्रश्न

आसान

मध्यम

चुनौती

सारांश

अब आपको ये समझा पाना चाहिए:

• समरूप आकृतियों का स्वरूप एक होता है पर साइज़ ज़रूरी नहीं। हर सर्वांगसम आकृति समरूप होती है, पर उल्टा नहीं।
• दो बहुभुज (समान भुजाओं की संख्या) तभी समरूप होते हैं जब दोनों सही हों: संगत कोण बराबर और संगत भुजाएँ समानुपाती। उभयनिष्ठ अनुपात पैमाना गुणक है।
• आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स): त्रिभुज की एक भुजा के समांतर रेखा बाक़ी दो भुजाओं को समान अनुपात में बाँटती है — AD/DB = AE/EC। एक ही आधार पर एक ही समांतर रेखाओं के बीच के बराबर-क्षेत्रफल त्रिभुजों से सिद्ध।
• BPT का विलोम: यदि कोई रेखा त्रिभुज की दो भुजाओं को समान अनुपात में बाँटे, तो वह तीसरी भुजा के समांतर होती है — रेखाओं को समांतर सिद्ध करने का आपका औज़ार।
• त्रिभुजों की समरूपता कसौटियाँ: AAA/AA (बराबर कोण ⇒ समानुपाती भुजाएँ), SSS (समानुपाती भुजाएँ ⇒ बराबर कोण), SAS (दो समानुपाती भुजाओं के बीच एक बराबर कोण)। हर एक को सिर्फ़ तीन बातें चाहिए।
• समरूपता को सही शीर्ष-क्रम में लिखें: △ABC ∼ △DEF का मतलब A↔D, B↔E, C↔F।
• समरूप त्रिभुज अप्रत्यक्ष मापन को चलाते हैं — ऊँचाइयाँ, दूरियाँ, परछाइयाँ।

आगे क्या

अब तक आप आकृतियों पर लंबाइयों, अनुपातों और समांतरता से तर्क करते रहे — शुद्ध ज्यामिति, बिना ग्रिड। आगे, निर्देशांक ज्यामिति में, आप बिंदुओं को x–y तल पर रखकर ज्यामिति को बीजगणित में बदलेंगे: दो बिंदुओं की दूरी निकालने का दूरी सूत्र, और किसी रेखाखंड को दिए अनुपात में बाँटने वाले बिंदु को निकालने का विभाजन सूत्र — वही “अनुपात में बाँटना” वाला विचार जो आपने अभी BPT में देखा, अब सटीक निर्देशांकों के साथ।