निर्देशांक ज्यामिति
यह क्यों ज़रूरी है
सोचो कि एक शहर B, शहर A से 36 km पूरब और 15 km उत्तर में है। दोनों शहरों के बीच सीधी रेखा में दूरी कितनी है — और वह भी पूरे इलाक़े पर फ़ीता खींचे बिना? या: एक फ़ोन कंपनी A से B जाने वाली सड़क पर एक रिले टावर लगाना चाहती है, ऐसे कि वह B से दुगुना दूर हो जितना A से — नक़्शे पर ठीक कहाँ बैठेगा वह?
ये काग़ज़ी पहेलियाँ नहीं हैं। जैसे ही तुम नक़्शे के हर बिंदु को संख्याओं के जोड़े (x, y) से बाँध देते हो, दूरी और स्थिति के सवाल शुद्ध अंकगणित बन जाते हैं। यही निर्देशांक ज्यामिति की पूरी ताक़त है: यह तुम्हें बीजगणित से ज्यामिति का अध्ययन करने देती है। न चाँदा, न पैमाना — बस निर्देशांक और एक सूत्र।
इस अध्याय में तुम ठीक यही करने वाले दो औज़ार बनाओगे। दूरी सूत्र सिर्फ़ निर्देशांकों से बता देता है कि कोई दो बिंदु कितने दूर हैं। विभाजन सूत्र बताता है कि किसी रेखाखंड को दिए गए अनुपात में बाँटने वाले बिंदु के निर्देशांक क्या होंगे। दोनों उसी ज्यामिति से निकलते हैं जो तुम पहले से जानते हो — और हम इन्हें सिद्ध करेंगे, बस थमा नहीं देंगे। इन दो औज़ारों से तुम तय कर सकते हो कि तीन बिंदु एक रेखा पर हैं या नहीं, चार बिंदु वर्ग बनाते हैं या नहीं, और कोई बिंदु रेखाखंड को ठीक कहाँ बाँटता है।
मूल विचार
एक बार हर बिंदु को निर्देशांक (x, y) से नाम दे दो, तो ज्यामिति बीजगणित बन जाती है। दो बिंदुओं के बीच की दूरी बस एक समकोण त्रिभुज का कर्ण है, जिसकी भुजाएँ उनके x- और y-निर्देशांकों के अंतर हैं — तो पाइथागोरस प्रमेय से सीधे d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]। और वह बिंदु P जो A से B के रेखाखंड को अनुपात m : n में बाँटता है, उसके निर्देशांक A और B के निर्देशांकों का एक भारित औसत होते हैं — ((mx₂ + nx₁)/(m + n), (my₂ + ny₁)/(m + n))। मध्यबिंदु तो बस m = n वाला हाल है: सादा औसत।
आओ इसे समझें
अक्ष के साथ दूरियाँ — आसान शुरुआत
सामान्य सूत्र से पहले सबसे सरल हाल देखो। अगर दो बिंदु x-अक्ष पर हों, मान लो A(4, 0) और B(6, 0), तो दूरी बस उनके x-मानों का फ़र्क़ है: AB = 6 − 4 = 2 इकाई। इसी तरह y-अक्ष पर के दो बिंदु, मान लो C(0, 3) और D(0, 8), CD = 8 − 3 = 5 इकाई दूर हैं।
तो किसी एक अक्ष के साथ, दूरी बस एक घटाव है। असली दिलचस्प सवाल वे दो बिंदु हैं जो तल में कहीं भी बैठे हों — और यहीं पाइथागोरस काम आता है।
दूरी सूत्र निकालना
कोई भी दो बिंदु लो — P(x₁, y₁) और Q(x₂, y₂)। P से और Q से x-अक्ष पर लंब डालो, और P से एक क्षैतिज रेखा खींचो जो Q से गुज़रती ऊर्ध्वाधर रेखा को बिंदु T पर मिले। अब PTQ एक समकोण त्रिभुज है, जिसका समकोण T पर है।
दोनों भुजाएँ सीधे तस्वीर से पढ़ लो:
- क्षैतिज भुजा PT = x₂ − x₁ (x-निर्देशांकों का अंतर)।
- ऊर्ध्वाधर भुजा QT = y₂ − y₁ (y-निर्देशांकों का अंतर)।
अब समकोण त्रिभुज PTQ पर पाइथागोरस प्रमेय लगाओ:
PQ² = PT² + QT² = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²
चूँकि दूरी कभी ऋणात्मक नहीं होती, सिर्फ़ धनात्मक वर्गमूल लो:
PQ = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]
यही है दूरी सूत्र। दो काम की बातें:
- चूँकि अंतर वर्ग होते हैं, इससे फ़र्क़ नहीं पड़ता कि किसे “1” कहो और किसे “2” — (x₂ − x₁)² = (x₁ − x₂)²। घटाव किसी भी क्रम में करो।
- एक बिंदु को मूल बिंदु O(0, 0) पर रख दो तो P(x, y) की मूल बिंदु से दूरी मिलती है: OP = √(x² + y²)।
A(2, 3) और B(4, 1) के बीच की दूरी ज्ञात करो।
- नाम दो: (x₁, y₁) = (2, 3) और (x₂, y₂) = (4, 1)।
- अंतर: x₂ − x₁ = 4 − 2 = 2, और y₂ − y₁ = 1 − 3 = −2।
- वर्ग करके जोड़ो: 2² + (−2)² = 4 + 4 = 8।
- धनात्मक मूल लो: AB = √8 = 2√2 इकाई ≈ 2.83 इकाई।
शहर B, शहर A से 36 km पूरब और 15 km उत्तर है। B सीधी रेखा में A से कितनी दूर है?
- A को मूल बिंदु (0, 0) पर रखो। तब B 36 पूरब और 15 उत्तर है, तो B = (36, 15)।
- मूल बिंदु से दूरी: OB = √(36² + 15²)।
- हिसाब: 36² = 1296 और 15² = 225, तो योग 1296 + 225 = 1521।
- √1521 = 39। तो दोनों शहर 39 km दूर हैं — एक भी मीटर नापे बिना।
दूरियों का उपयोग: संरेखता, त्रिभुज और चतुर्भुज
एक बार तुम कोई भी दूरी निकाल लो, तो सिर्फ़ लंबाइयाँ तुलना करके “यह कौन-सी आकृति है?” का जवाब दे सकते हो।
संरेख बिंदु। तीन बिंदु A, B, C एक ही सरल रेखा पर ठीक तभी होते हैं जब तीनों दूरियों में सबसे बड़ी, बाक़ी दो के योग के बराबर हो — जैसे AB + BC = AC। (अगर वे त्रिभुज बनाते, तो कोई भी दो भुजाएँ तीसरी से ज़्यादा जुड़तीं; बराबरी का मतलब है त्रिभुज ढहकर रेखा पर सपाट हो गया।)
तीन विद्यार्थी A(3, 1), B(6, 4) और C(8, 6) पर बैठे हैं। क्या वे संरेख हैं?
- AB = √[(6 − 3)² + (4 − 1)²] = √(9 + 9) = √18 = 3√2।
- BC = √[(8 − 6)² + (6 − 4)²] = √(4 + 4) = √8 = 2√2।
- AC = √[(8 − 3)² + (6 − 1)²] = √(25 + 25) = √50 = 5√2।
- जाँचो: AB + BC = 3√2 + 2√2 = 5√2 = AC। चूँकि दो दूरियाँ तीसरी के बराबर जुड़ती हैं, बिंदु संरेख हैं — वे एक रेखा में बैठे हैं।
त्रिभुज के प्रकार। तीनों भुजाएँ निकालो। तीनों बराबर → समबाहु; ठीक दो बराबर → समद्विबाहु। और अगर दो भुजाओं के वर्ग तीसरी के वर्ग के बराबर जुड़ें, तो पाइथागोरस प्रमेय का विलोम कहता है कि वहाँ समकोण है।
चतुर्भुज के प्रकार। चार बिंदुओं के लिए (क्रम में लिए हुए), चारों भुजाएँ और दोनों विकर्ण निकालो, फिर आकृति पढ़ लो:
| आकृति | क्या जाँचें |
|---|---|
| वर्ग | चारों भुजाएँ बराबर और दोनों विकर्ण भी बराबर |
| समचतुर्भुज | चारों भुजाएँ बराबर पर विकर्ण असमान |
| आयत | सम्मुख भुजाएँ बराबर और दोनों विकर्ण बराबर |
| समांतर चतुर्भुज | सम्मुख भुजाएँ बराबर (विकर्ण बराबर हों ज़रूरी नहीं) |
दिखाओ कि A(1, 7), B(4, 2), C(−1, −1) और D(−4, 4) एक वर्ग के शीर्ष हैं।
- चारों भुजाएँ: AB = √[(1 − 4)² + (7 − 2)²] = √(9 + 25) = √34; BC = √[(4 + 1)² + (2 + 1)²] = √(25 + 9) = √34।
- CD = √[(−1 + 4)² + (−1 − 4)²] = √(9 + 25) = √34; DA = √[(1 + 4)² + (7 − 4)²] = √(25 + 9) = √34। तो चारों भुजाएँ √34 के बराबर।
- विकर्ण: AC = √[(1 + 1)² + (7 + 1)²] = √(4 + 64) = √68; BD = √[(4 + 4)² + (2 − 4)²] = √(64 + 4) = √68। दोनों विकर्ण √68 के बराबर।
- चारों भुजाएँ बराबर और दोनों विकर्ण भी बराबर — तो ABCD एक वर्ग है।
विभाजन सूत्र निकालना
अब दूसरा औज़ार। मान लो एक बिंदु P(x, y) बिंदु A(x₁, y₁) से B(x₂, y₂) के रेखाखंड पर है और उसे आंतरिक रूप से अनुपात m : n में बाँटता है — यानी AP : PB = m : n।
A, P और B से x-अक्ष पर लंब डालो, और A से व P से क्षैतिज रेखाएँ खींचो। इससे दो समकोण त्रिभुज बनते हैं, AQP और PCB, जिनके कोण बराबर हैं (रेखाखंड AB दोनों को एक ही ढाल पर काटती है)। AA समरूपता कसौटी से, △AQP ~ △PCB।
समरूप त्रिभुजों से, संगत भुजाएँ एक ही अनुपात AP : PB = m : n में हैं, तो:
AQ / PC = PQ / BC = m / n
वे भुजाएँ तस्वीर से पढ़ो:
- AQ = x − x₁ और PC = x₂ − x।
- PQ = y − y₁ और BC = y₂ − y।
पहले x-भाग लो: (x − x₁) / (x₂ − x) = m / n। तिरछा गुणा करो:
n(x − x₁) = m(x₂ − x) → nx − nx₁ = mx₂ − mx → mx + nx = mx₂ + nx₁ → x = (mx₂ + nx₁) / (m + n)
y-भाग बिलकुल वैसे ही चलता है: (y − y₁) / (y₂ − y) = m / n से y = (my₂ + ny₁) / (m + n)।
तो वह बिंदु P जो AB को आंतरिक रूप से अनुपात m : n में बाँटता है:
P = ((mx₂ + nx₁)/(m + n), (my₂ + ny₁)/(m + n))
यही है विभाजन सूत्र। “तिरछे” पैटर्न पर ध्यान दो: दूर वाले बिंदु B का x, m (अनुपात की पहली संख्या) से गुणा होता है, और पास वाले बिंदु A का x, n से।
मध्यबिंदु — बस m = n वाला हाल
मध्यबिंदु रेखाखंड को अनुपात 1 : 1 में बाँटता है, तो विभाजन सूत्र में m = n = 1 रखो:
मध्यबिंदु = ((1·x₂ + 1·x₁)/(1 + 1), (1·y₂ + 1·y₁)/(1 + 1)) = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)
सीधे शब्दों में: मध्यबिंदु के निर्देशांक बस सिरों के निर्देशांकों के औसत हैं। कोई नया सूत्र रटने की ज़रूरत नहीं — यह विभाजन सूत्र से ही निकल आता है।
(4, −3) और (8, 5) को जोड़ने वाले रेखाखंड को आंतरिक रूप से अनुपात 3 : 1 में बाँटने वाला बिंदु ज्ञात करो।
- मान लो A = (x₁, y₁) = (4, −3) और B = (x₂, y₂) = (8, 5), जहाँ m : n = 3 : 1।
- x = (mx₂ + nx₁)/(m + n) = (3·8 + 1·4)/(3 + 1) = (24 + 4)/4 = 28/4 = 7।
- y = (my₂ + ny₁)/(m + n) = (3·5 + 1·(−3))/(3 + 1) = (15 − 3)/4 = 12/4 = 3।
- तो अभीष्ट बिंदु (7, 3) है।
बिंदु (−4, 6), A(−6, 10) और B(3, −8) को जोड़ने वाले रेखाखंड को किस अनुपात में बाँटता है?
- मान लो अनुपात k : 1 है (m : n को n से भाग देकर k : 1 लिखो)। तब x = (k·3 + 1·(−6))/(k + 1) और इसे −4 के बराबर चाहिए।
- तो (3k − 6)/(k + 1) = −4 → 3k − 6 = −4(k + 1) = −4k − 4।
- 3k + 4k = −4 + 6 → 7k = 2 → k = 2/7। तो k : 1 = 2/7 : 1 = 2 : 7।
- अनुपात 2 : 7 से y-निर्देशांक जाँचो: y = (2·(−8) + 7·10)/(2 + 7) = (−16 + 70)/9 = 54/9 = 6 ✓। तो (−4, 6), AB को अनुपात 2 : 7 में बाँटता है।
किसी रेखाखंड का मध्यबिंदु पाने के लिए विभाजन सूत्र में कौन-सा अनुपात लेना होगा?
आम ग़लतियाँ
दूरी सूत्र में अंतरों को जोड़ो, फिर वर्ग करो: d = √[(x₂ − x₁) + (y₂ − y₁)]²।
दोनों रूपों में एक ही टुकड़ों वाले व्यंजक पर वर्गमूल है, तो वर्ग को बाहर खिसकाकर 'सरल' कर देना आसान लगता है।
हर अंतर को अलग-अलग वर्ग करके फिर जोड़ना होता है: d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]। योग का वर्ग एकदम अलग (ग़लत) संख्या देता है — यह पाइथागोरस की बनावट भुजा² + भुजा² है, न कि (भुजा + भुजा)²।
बिंदुओं का क्रम दूरी बदल देता है, तो हमेशा (बड़ा − छोटा) करना होगा।
लंबाई 'हाथ से' निकालते समय तुम सहज ही बड़े में से छोटा घटाते हो ताकि वह धनात्मक रहे, तो क्रम मायने रखता-सा लगता है।
चूँकि हर अंतर वर्ग होता है, (x₂ − x₁)² = (x₁ − x₂)²। घटाव जिस भी क्रम में करो — वर्ग चिह्न मिटा देता है, तो दोनों तरह दूरी एक ही रहती है।
अनुपात m : n के विभाजन सूत्र में x₁ को m से और x₂ को n से गुणा करो: x = (mx₁ + nx₂)/(m + n)।
पहली अनुपात संख्या m को पहले बिंदु A के साथ जोड़ना स्वाभाविक लगता है, सब कुछ 'क्रम में' रहता है।
यह तिरछा है: पहली अनुपात संख्या m, दूर वाले बिंदु B के साथ जाती है, दूसरी संख्या n पास वाले बिंदु A के साथ। तो x = (mx₂ + nx₁)/(m + n)। एक झटपट जाँच: 3 : 1 का बँटवारा बिंदु को B के पास ले जाता है, तो B पर बड़ा भार (3) होना चाहिए।
मध्यबिंदु पाने के लिए x का y के साथ औसत लो: मध्यबिंदु = ((x₁ + y₁)/2, (x₂ + y₂)/2)।
इतने सारे पादांक और दो आधे हैं कि किन संख्याओं की जोड़ी बने, यह गड़बड़ाना आसान है।
x को x के साथ और y को y के साथ रखो: मध्यबिंदु = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)। पहला निर्देशांक दोनों x-मानों का औसत है; दूसरा दोनों y-मानों का।
झटपट जाँच
बिंदुओं (0, 0) और (5, 12) के बीच की दूरी क्या है?
तीन बिंदु AB + BC = AC को संतुष्ट करते हैं। इससे क्या पता चलता है?
(−2, 4) और (6, −2) को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्यबिंदु क्या है?
एक बिंदु, A(0, 0) से B(8, 0) के रेखाखंड को अनुपात 3 : 1 में बाँटता है। उसका x-निर्देशांक क्या है?
अभ्यास प्रश्न
आसान
(−5, 7) और (−1, 3) के बीच की दूरी ज्ञात करो।
अंतर: x₂ − x₁ = −1 − (−5) = 4, और y₂ − y₁ = 3 − 7 = −4।
दूरी = √[4² + (−4)²] = √(16 + 16) = √32 = 4√2 इकाई (≈ 5.66 इकाई)।
(3, 0) और (3, 8) को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्यबिंदु ज्ञात करो।
हर निर्देशांक का औसत लो: x = (3 + 3)/2 = 3 और y = (0 + 8)/2 = 4।
तो मध्यबिंदु (3, 4) है। (दोनों बिंदुओं का x = 3 समान है, तो मध्यबिंदु का भी होना चाहिए — एक अच्छी जाँच।)
मध्यम
A(2, −2) और B(−7, 4) को जोड़ने वाले रेखाखंड के त्रिविभाजन बिंदु ज्ञात करो — वे दो बिंदु जो इसे तीन बराबर भागों में बाँटते हैं।
त्रिविभाजन बिंदुओं को P (A के पास) और Q (B के पास) कहो, तो AP = PQ = QB।
P, AB को अनुपात 1 : 2 में बाँटता है। विभाजन सूत्र में m : n = 1 : 2 से:
x = (1·(−7) + 2·2)/(1 + 2) = (−7 + 4)/3 = −3/3 = −1।
y = (1·4 + 2·(−2))/(1 + 2) = (4 − 4)/3 = 0। तो P = (−1, 0)।
Q, AB को अनुपात 2 : 1 में बाँटता है। m : n = 2 : 1 से:
x = (2·(−7) + 1·2)/(2 + 1) = (−14 + 2)/3 = −12/3 = −4।
y = (2·4 + 1·(−2))/(2 + 1) = (8 − 2)/3 = 6/3 = 2। तो Q = (−4, 2)।
त्रिविभाजन बिंदु (−1, 0) और (−4, 2) हैं।
y-अक्ष पर एक ऐसा बिंदु ज्ञात करो जो A(6, 5) और B(−4, 3) से समान दूरी पर हो।
y-अक्ष पर के किसी भी बिंदु का रूप P(0, y) होता है। हमें PA = PB चाहिए, तो PA² = PB²:
(6 − 0)² + (5 − y)² = (−4 − 0)² + (3 − y)²
36 + 25 − 10y + y² = 16 + 9 − 6y + y²
61 − 10y = 25 − 6y → 61 − 25 = 10y − 6y → 36 = 4y → y = 9।
तो अभीष्ट बिंदु (0, 9) है। (जाँच: PA = √(6² + (5 − 9)²) = √(36 + 16) = √52, और PB = √((−4)² + (3 − 9)²) = √(16 + 36) = √52 ✓।)
चुनौती
A(6, 1), B(8, 2), C(9, 4) और D(p, 3), क्रम में लिए एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हैं। p ज्ञात करो।
एक मुख्य गुण: समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, तो विकर्ण AC का मध्यबिंदु विकर्ण BD के मध्यबिंदु के बराबर होता है।
AC का मध्यबिंदु = ((6 + 9)/2, (1 + 4)/2) = (15/2, 5/2)।
BD का मध्यबिंदु = ((8 + p)/2, (2 + 3)/2) = ((8 + p)/2, 5/2)।
y-निर्देशांक पहले से मेल खाते हैं (5/2 = 5/2 ✓)। x-निर्देशांक बराबर करो:
15/2 = (8 + p)/2 → 15 = 8 + p → p = 7।
(5, −6) और (−1, −4) को जोड़ने वाले रेखाखंड को y-अक्ष किस अनुपात में बाँटती है, यह और विभाजन बिंदु ज्ञात करो।
मान लो अनुपात k : 1 है। बाँटने वाले बिंदु का x-निर्देशांक है
x = (k·(−1) + 1·5)/(k + 1) = (−k + 5)/(k + 1)।
y-अक्ष पर x-निर्देशांक 0 होता है, तो (−k + 5)/(k + 1) = 0 → −k + 5 = 0 → k = 5।
तो अनुपात 5 : 1 है। अब k = 5 पर y निकालो:
y = (5·(−4) + 1·(−6))/(5 + 1) = (−20 − 6)/6 = −26/6 = −13/3।
प्रतिच्छेद बिंदु (0, −13/3) है।
सारांश
अब तुम यह समझा पाने चाहिए:
- निर्देशांक ज्यामिति बिंदुओं के बारे में ज्यामितीय सवालों को उनके निर्देशांकों (x, y) से बीजगणित में बदल देती है।
- दूरी सूत्र: PQ = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²], जो x₂ − x₁ और y₂ − y₁ भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज पर पाइथागोरस प्रमेय से निकलता है। घटाव का क्रम मायने नहीं रखता क्योंकि अंतर वर्ग होते हैं।
- मूल बिंदु से दूरी: OP = √(x² + y²)।
- संरेखता: तीन बिंदु एक रेखा पर होते हैं जब सबसे बड़ी दूरी बाक़ी दो के योग के बराबर हो (AB + BC = AC)।
- भुजाओं की लंबाइयाँ और विकर्ण तुलना करके तुम त्रिभुज और चतुर्भुज वर्गीकृत कर सकते हो (वर्ग, समचतुर्भुज, आयत, समांतर चतुर्भुज)।
- विभाजन सूत्र: AB को आंतरिक रूप से अनुपात m : n में बाँटने वाला बिंदु ((mx₂ + nx₁)/(m + n), (my₂ + ny₁)/(m + n)) है — समरूप त्रिभुजों से निकाला, अनुपात संख्याएँ सम्मुख सिरों पर तिरछी लगती हैं।
- मध्यबिंदु सूत्र m = n = 1 वाला हाल है: ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2) — बस निर्देशांकों का औसत।
आगे क्या
अब तक तुमने निर्देशांकों से स्थितियाँ और दूरियाँ बताईं। आगे, त्रिकोणमिति का परिचय में, तुम एक समकोण त्रिभुज के कोणों को उसकी भुजाओं के अनुपातों से जोड़ोगे — ज्या, कोज्या और स्पर्शज्या (sine, cosine, tangent)। जहाँ निर्देशांक ज्यामिति कितनी दूर नापती है, वहाँ त्रिकोणमिति किस दिशा नापती है, और दोनों मिलकर मीनार की ऊँचाई नापने से लेकर दिक्चालन और भौतिकी तक सब चलाती हैं।