त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग
यह क्यों ज़रूरी है
क़ुतुब मीनार कितनी ऊँची है? जिस नदी को तुम पार नहीं कर सकते, वह कितनी चौड़ी है? पतंग, बादल या पहाड़ की चोटी कितनी ऊँची है? तुम 70 मीटर ऊँची मीनार पर या बहती नदी के पार मापने का फ़ीता नहीं ले जा सकते — पर ज़रूरत भी नहीं। एक जानी-पहचानी दूरी पर खड़े हो जाओ, चोटी की ओर देखो, और अपनी दृष्टि रेखा ज़मीन के साथ जो कोण बनाती है उसे नापो। वह एक कोण, और एक दूरी जो तुम नाप सकते हो, मिलकर ऊँचाई ठीक-ठीक बता देते हैं।
यह त्रिकोणमिति का किताब से बाहर निकलकर दुनिया में काम करना है। पिछले अध्याय में तुमने समकोण त्रिभुज में किसी कोण के लिए sin, cos और tan अनुपात सीखे। यहाँ उन्हें काम पर लगाते हैं: हर “कितना ऊँचा / कितना दूर / कितना ऊपर” वाला सवाल एक समकोण त्रिभुज बन जाता है, जहाँ एक भुजा और एक कोण पता हैं, और जो भुजा चाहिए वह बस एक अनुपात दूर है।
ख़ूबसूरत बात यह है कि कागज़ पर तुम्हें कोई ख़ास कोण-नापने वाला यंत्र नहीं चाहिए — सवाल मानक कोणों 30°, 45° और 60° के इर्द-गिर्द बने होते हैं, जिनके अनुपात तुम्हें पहले से ज़बानी याद हैं। बस यह छोटी आदत पक्की कर लो कि पहले समकोण त्रिभुज खींचो, और ये सवाल लगभग मशीनी हो जाते हैं।
मूल विचार
जिस ऊँचाई या दूरी तक तुम नहीं पहुँच सकते उसे निकालने के लिए हालात को एक समकोण त्रिभुज में बदलो। दृष्टि रेखा वह सीधी रेखा है जो प्रेक्षक की आँख से वस्तु तक जाती है। यह रेखा क्षैतिज के साथ जो कोण बनाती है वह उन्नयन कोण है जब तुम ऊपर देखते हो (वस्तु आँख के स्तर से ऊपर) और अवनमन कोण है जब तुम नीचे देखते हो (वस्तु आँख के स्तर से नीचे)। एक बार एक भुजा और मानक कोण 30°/45°/60° में से एक पता हो जाए, तो एक ही त्रिकोणमितीय अनुपात — आमतौर पर tan — अज्ञात भुजा दे देता है।
आओ इसे समझें
दृष्टि रेखा और उन्नयन कोण
मान लो तुम ज़मीन पर खड़े हो और मीनार की चोटी की ओर ऊपर देख रहे हो। तुम्हारी आँख से मीनार की चोटी तक जाती सीधी रेखा दृष्टि रेखा है। जिस सपाट, समतल दिशा में तुम सीधे सामने देखते तो देखते, वह क्षैतिज है।
जब वस्तु तुम्हारी आँख के स्तर से ऊपर हो, तो तुम सिर उठाते हो — और तुम्हारी दृष्टि रेखा तथा क्षैतिज के बीच का कोण उन्नयन कोण है।
इसे समकोण त्रिभुज में बदलने के लिए: ऊर्ध्वाधर वस्तु की ऊँचाई है (आँख के स्तर से ऊपर), क्षैतिज उसके पाद तक की दूरी है, और दृष्टि रेखा कर्ण है। समकोण पाद पर है। उन्नयन कोण प्रेक्षक की आँख पर है, उसके सामने ऊँचाई और पास दूरी — तो tan θ = ऊँचाई / दूरी।
अवनमन कोण
अब किसी इमारत की चोटी पर चढ़ो और ज़मीन पर पड़ी किसी चीज़ की ओर नीचे देखो — एक कार, एक नाव, एक गमला। अब तुम्हारी दृष्टि रेखा नीचे की ओर ढलती है। क्षैतिज अब भी तुम्हारी आँख पर समतल दिशा है। क्षैतिज और तुम्हारी नीचे जाती दृष्टि रेखा के बीच का कोण अवनमन कोण है।
अवनमन वाले सवालों का सबसे काम का तथ्य यह रहा। प्रेक्षक की आँख पर क्षैतिज और ज़मीन की क्षैतिज समांतर हैं। दृष्टि रेखा इन्हें काटती हुई तिर्यक रेखा है। तो अवनमन कोण (चोटी पर) उस उन्नयन कोण के बराबर होता है जो ज़मीन पर पड़ी वस्तु से प्रेक्षक को देखने पर बनता है — ये एकांतर कोण हैं।
अवनमन कोण “नीचे गिरकर” तुम्हारे त्रिभुज के निचले सिरे पर एक बराबर कोण बन जाता है। इससे तुम जाना-पहचाना कोण त्रिभुज के अंदर रख पाते हो, जहाँ उसे इस्तेमाल करना आसान है।
किसी चट्टान की चोटी से एक नाव का अवनमन कोण 40° नापा जाता है। नाव से चट्टान की चोटी का उन्नयन कोण क्या है?
सही अनुपात चुनना
लगभग हर सवाल में तुम्हें इन तीन में से दो पता होंगे (या चाहिए होंगे): ऊँचाई (ऊर्ध्वाधर, कोण के सामने), पाद तक की दूरी (क्षैतिज, पास वाली), और दृष्टि रेखा (कर्ण)। वह अनुपात चुनो जो जो पता है उसे जो चाहिए उससे जोड़े:
| पता है / चाहिए | इस्तेमाल करो | सूत्र (प्रेक्षक पर कोण θ) |
|---|---|---|
| ऊँचाई व दूरी | tan θ | tan θ = ऊँचाई / दूरी |
| ऊँचाई व दृष्टि रेखा | sin θ | sin θ = ऊँचाई / कर्ण |
| दूरी व दृष्टि रेखा | cos θ | cos θ = दूरी / कर्ण |
और मानक कोणों के मान जिन पर तुम बार-बार टिकोगे:
| θ | sin θ | cos θ | tan θ |
|---|---|---|---|
| 30° | 1/2 | √3/2 | 1/√3 |
| 45° | 1/√2 | 1/√2 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 |
हल किए गए सवाल
सबसे साफ़ हाल से शुरू करो — एक मीनार, एक जानी-पहचानी दूरी, ऊँचाई निकालो।
एक मीनार ज़मीन पर सीधी खड़ी है। ज़मीन पर उसके पाद से 15 मीटर दूर एक बिंदु से चोटी का उन्नयन कोण 60° है। मीनार की ऊँचाई निकालो।
- समकोण त्रिभुज ABC खींचो: AB मीनार है (ऊर्ध्वाधर), B पाद है (समकोण), और C ज़मीन पर वह बिंदु जहाँ CB = 15 मीटर। C पर उन्नयन कोण 60° है।
- हमें दूरी पता है (पास वाली = 15 मीटर) और ऊँचाई चाहिए (सामने वाली = AB)। सामने और पास को जोड़ने वाला अनुपात स्पर्शज्या है: tan 60° = AB / CB।
- तो AB = CB × tan 60° = 15 × √3।
- इसलिए मीनार की ऊँचाई 15√3 मीटर ≈ 25.98 मीटर है।
अब वह हाल जहाँ दृष्टि रेखा ही (कर्ण) अज्ञात है — तो हम sin की ओर हाथ बढ़ाते हैं।
एक बिजली मिस्त्री को 5 मीटर ऊँचे खंभे की चोटी से 1.3 मीटर नीचे एक बिंदु तक पहुँचना है। उसकी सीढ़ी क्षैतिज से 60° पर टिकी है। सीढ़ी कितनी लंबी होनी चाहिए, और उसे खंभे के पाद से कितनी दूर रखे? (√3 = 1.73 लो।)
- जिस बिंदु तक उसे पहुँचना है वह खंभे पर BD = 5 − 1.3 = 3.7 मीटर ऊपर है। सीढ़ी BC एक समकोण त्रिभुज का कर्ण है, जिसमें 60° का कोण ज़मीन के बिंदु C पर और समकोण खंभे के पाद D पर है।
- ऊँचाई (सामने) और सीढ़ी (कर्ण) ज्या से जुड़ी हैं: sin 60° = BD / BC, तो BC = BD / sin 60° = 3.7 / (√3/2) = (3.7 × 2)/√3।
- BC = 7.4 / 1.73 ≈ 4.28 मीटर। तो सीढ़ी लगभग 4.28 मीटर लंबी होनी चाहिए।
- पाद की खंभे से दूरी DC के लिए स्पर्शज्या इस्तेमाल करो: tan 60° = BD / DC, तो DC = BD / tan 60° = 3.7 / √3 = 3.7 / 1.73 ≈ खंभे के पाद से 2.14 मीटर।
जब प्रेक्षक की अपनी एक ऊँचाई हो (आँखें ज़मीन पर न हों), तो त्रिभुज तुम्हें आँख के स्तर से ऊपर की ऊँचाई देता है — आख़िर में तुम प्रेक्षक की ऊँचाई जोड़ देते हो।
1.5 मीटर लंबी एक प्रेक्षिका एक चिमनी से 28.5 मीटर दूर खड़ी है। उसकी आँखों से चिमनी की चोटी का उन्नयन कोण 45° है। चिमनी की ऊँचाई निकालो।
- उसकी आँखें 1.5 मीटर ऊपर हैं। मान लो चिमनी की चोटी उसकी आँख के स्तर से AE ऊपर है, जहाँ समकोण त्रिभुज में क्षैतिज आँख-स्तर दूरी DE = 28.5 मीटर और 45° का कोण उसकी आँख पर है।
- tan 45° = AE / DE → AE = DE × tan 45° = 28.5 × 1 = 28.5 मीटर। यह चिमनी का उसकी आँखों के ऊपर वाला हिस्सा है।
- चिमनी की पूरी ऊँचाई = (आँख के ऊपर का हिस्सा) + (उसकी आँख की ऊँचाई) = AE + 1.5।
- ऊँचाई = 28.5 + 1.5 = 30 मीटर।
कई परीक्षा-सवाल एक ही वस्तु के लिए दो कोण देते हैं — इन्हें एक भुजा साझा करते दो समकोण त्रिभुज की तरह सँभालो, और साथ-साथ हल करो।
ज़मीन पर एक बिंदु P से 10 मीटर ऊँची इमारत की चोटी का उन्नयन कोण 30° है। चोटी पर एक झंडा लगाया जाता है, और P से झंडे की नोक का उन्नयन कोण 45° है। झंडे के डंडे की लंबाई और P से इमारत की दूरी निकालो। (√3 = 1.732 लो।)
- मान लो इमारत का पाद A, चोटी B, झंडे की नोक D, और PA = क्षैतिज दूरी। पहला त्रिभुज PAB: tan 30° = AB / PA = 10 / PA।
- तो 1/√3 = 10 / PA → PA = 10√3 = 10 × 1.732 = 17.32 मीटर (P से इमारत की दूरी)।
- मान लो झंडे का डंडा DB = x, तो पूरी ऊँचाई AD = 10 + x। दूसरा त्रिभुज PAD: tan 45° = AD / PA → 1 = (10 + x) / (10√3)।
- तो 10 + x = 10√3 = 17.32 → x = 17.32 − 10 = 7.32 मीटर, झंडे के डंडे की लंबाई।
एक चिर-परिचित “दो परछाइयों का अंतर” वाला सवाल — अज्ञात दोनों त्रिभुजों में आते हैं, तो दो समीकरण बनाकर जोड़ो।
समतल ज़मीन पर खड़ी एक मीनार की परछाई तब 40 मीटर लंबी होती है जब सूरज की ऊँचाई 30° हो, बजाय जब वह 60° हो। मीनार की ऊँचाई निकालो।
- मान लो ऊँचाई h और छोटी परछाई (60° पर) x है। तब लंबी परछाई (30° पर) x + 40 है।
- 60° पर: tan 60° = h / x → √3 = h / x → h = x√3। … (1)
- 30° पर: tan 30° = h / (x + 40) → 1/√3 = h / (x + 40) → h = (x + 40)/√3। … (2)
- (1) = (2) रखो: x√3 = (x + 40)/√3। दोनों ओर √3 से गुणा करो: 3x = x + 40 → 2x = 40 → x = 20। फिर h = x√3 = 20√3, तो मीनार 20√3 मीटर ≈ 34.64 मीटर ऊँची है।
अब दो कोणों वाला एक अवनमन सवाल — देखो कैसे हर अवनमन कोण एक बराबर कोण बनकर त्रिभुज में गिरता है।
एक बहुमंज़िला इमारत की चोटी से 8 मीटर ऊँची एक इमारत की चोटी और पाद के अवनमन कोण 30° और 45° हैं। बहुमंज़िला इमारत की ऊँचाई और दोनों इमारतों के बीच की दूरी निकालो।
- मान लो P ऊँची इमारत की चोटी, C उसका पाद; A पाद और B 8 मीटर इमारत की चोटी। P पर क्षैतिज ज़मीन के समांतर है, तो एकांतर कोणों से B तक का 30° अवनमन B पर 30° बन जाता है, और A तक का 45° अवनमन A पर 45°। मान लो PD ऊँची इमारत का B के स्तर से ऊपर का हिस्सा है, और इमारतों के बीच की दूरी AC = BD = d।
- निचले त्रिभुज PAC में: tan 45° = PC / AC = 1, तो PC = AC = d। पूरी ऊँचाई PC दूरी d के बराबर है।
- ऊपरी त्रिभुज PBD में: tan 30° = PD / BD → 1/√3 = PD / d → PD = d/√3। चूँकि PC = PD + DC और DC = 8 (छोटी इमारत), तो d = d/√3 + 8।
- तो d − d/√3 = 8 → d(1 − 1/√3) = 8 → d(√3 − 1)/√3 = 8 → d = 8√3/(√3 − 1) = 4(3 + √3) = (12 + 4√3) मीटर ≈ 18.93 मीटर। यही बहुमंज़िला इमारत की ऊँचाई भी है और दोनों इमारतों के बीच की दूरी भी।
एक और — पुल से दो अवनमन का इस्तेमाल कर नदी की चौड़ाई नापना।
एक नदी पार करते पुल पर एक बिंदु से दोनों ओर के किनारों के अवनमन कोण 30° और 45° हैं। पुल किनारों से 3 मीटर ऊपर है। नदी की चौड़ाई निकालो।
- मान लो P पुल पर वह बिंदु, D उसके नीचे लंब का पाद (तो PD = 3 मीटर), A और B दोनों ओर के किनारे। एकांतर कोणों से अवनमन A और B पर कोण बन जाते हैं: कोण A = 30°, कोण B = 45°।
- त्रिभुज PAD: tan 30° = PD / AD → 1/√3 = 3 / AD → AD = 3√3 मीटर।
- त्रिभुज PBD: tan 45° = PD / BD → 1 = 3 / BD → BD = 3 मीटर।
- चौड़ाई AB = AD + BD = 3√3 + 3 = 3(√3 + 1) मीटर ≈ 8.20 मीटर।
आम ग़लतियाँ
अवनमन कोण वस्तु पर ज़मीन से ऊपर की ओर नापा जाता है।
तस्वीर में वस्तु ज़मीन पर बैठी होती है, तो वहीं कोण अंकित करना — ज़मीन और प्रेक्षक तक ऊपर जाती दृष्टि रेखा के बीच — स्वाभाविक लगता है।
अवनमन कोण प्रेक्षक की आँख पर, क्षैतिज से नीचे की ओर नापा जाता है। तुम इसे त्रिभुज के निचले सिरे पर ले जा सकते हो — पर सिर्फ़ इसलिए कि वह वस्तु पर उन्नयन कोण के बराबर है (एकांतर कोण)। आँख पर क्षैतिज खींचो और कोण उसके नीचे अंकित करो।
ऊँचाई निकालने के लिए हमेशा sin θ इस्तेमाल करो।
ऊँचाई 'ऊर्ध्वाधर' है और sin में 'सामने' वाली भुजा होती है, जो अक्सर ऊँचाई ही होती है — तो ज्या ऊँचाई का अनुपात लगने लगती है।
अनुपात इस पर निर्भर करता है कि तुम्हें कौन-सी दूसरी भुजा पता है। अगर क्षैतिज दूरी पता है, तो tan θ = ऊँचाई/दूरी इस्तेमाल करो। sin θ सिर्फ़ तब लो जब कर्ण (दृष्टि रेखा) ही वह भुजा हो जो पता है या चाहिए। ग़लत अनुपात चुनने से एक अज्ञात कर्ण सवाल में घसीट आता है।
जब प्रेक्षक की ऊँचाई हो, तो त्रिभुज सीधे वस्तु की पूरी ऊँचाई दे देता है।
त्रिकोणमितीय अनुपात एक साफ़ संख्या उगल देता है, और यह सोचे बिना कि आँख असल में कहाँ है, उसे ही 'जवाब' कह देने का मन करता है।
आँख से खींचा गया समकोण त्रिभुज सिर्फ़ आँख के स्तर से ऊपर की ऊँचाई देता है। वस्तु की असली ऊँचाई के लिए आख़िर में प्रेक्षक की ऊँचाई (जैसे 1.5 मीटर) जोड़ो। इसे भूलना इन सवालों की सबसे आम चूक है।
tan 30° = √3 और tan 60° = 1/√3।
30° और 60° दोनों में √3 आता है, तो इन्हें आपस में बदल देना आसान है — और √3 'बड़ा लगता' है, तो ग़लत तरीक़े से बड़े कोण का जान पड़ता है।
tan 30° = 1/√3 (छोटा कोण → छोटा tan) और tan 60° = √3 (बड़ा कोण → बड़ा tan)। जाँच: ज़्यादा खड़ी दृष्टि रेखा का मतलब बड़ा कोण और बड़ा tan, तो tan 60° ही बड़ा मान, √3, होना चाहिए।
झटपट जाँच
तुम ज़मीन पर खड़े हो और मीनार की चोटी की ओर ऊपर देखते हो। तुम्हारी दृष्टि रेखा क्षैतिज के साथ जो कोण बनाती है वह कौन-सा कोण है?
एक बिंदु मीनार के पाद से 30 मीटर दूर है और चोटी का उन्नयन कोण 30° है। मीनार की ऊँचाई क्या है?
किसी चट्टान की चोटी से एक नाव का अवनमन कोण 35° है। नाव से चट्टान की चोटी का उन्नयन कोण क्या है?
1.5 मीटर लंबी एक व्यक्ति को (अपने त्रिभुज से) पता चलता है कि खंभे का उसकी आँख के स्तर से ऊपर का हिस्सा 8 मीटर है। खंभे की ऊँचाई क्या है?
अभ्यास सवाल
आसान
एक सर्कस कलाकार 20 मीटर लंबी एक रस्सी पर चढ़ता है जो एक सीधे खंभे की चोटी से ज़मीन तक बँधी है। रस्सी ज़मीन के साथ 30° बनाती है। खंभे की ऊँचाई निकालो।
रस्सी कर्ण है (20 मीटर), खंभा सामने वाली भुजा है (ऊँचाई), और ज़मीन पर कोण 30° है।
sin 30° = ऊँचाई / 20 → ऊँचाई = 20 × sin 30° = 20 × (1/2) = 10 मीटर।
एक पतंग 60 मीटर की ऊँचाई पर उड़ रही है। पतंग से बँधी डोर ज़मीन पर एक बिंदु से बँधी है, जो ज़मीन के साथ 60° बनाती है, और उसमें कोई ढील नहीं। डोर की लंबाई निकालो।
डोर कर्ण है, ऊँचाई (60 मीटर) 60° कोण के सामने है।
sin 60° = 60 / डोर → डोर = 60 / sin 60° = 60 / (√3/2) = 120/√3 = 40√3 ≈ 69.28 मीटर।
मध्यम
एक पेड़ तूफ़ान में टूट जाता है; टूटी चोटी झुककर पाद से 8 मीटर दूर ज़मीन को छूती है, ज़मीन के साथ 30° बनाते हुए। पेड़ की असली ऊँचाई निकालो।
मान लो खड़ा (बिना टूटा) हिस्सा h है, और टूटा हिस्सा (अब ज़मीन की ओर झुका) कर्ण है, लंबाई L। पाद-से-छूने वाली दूरी 8 मीटर है (30° कोण के पास वाली)।
खड़ा हिस्सा: tan 30° = h / 8 → h = 8 × (1/√3) = 8/√3 = 8√3/3 मीटर।
टूटा (झुका) हिस्सा: cos 30° = 8 / L → L = 8 / (√3/2) = 16/√3 = 16√3/3 मीटर।
असली ऊँचाई = h + L = 8√3/3 + 16√3/3 = 24√3/3 = 8√3 मीटर ≈ 13.86 मीटर।
1.5 मीटर लंबा एक लड़का 30 मीटर ऊँची इमारत से कुछ दूर खड़ा है। उसकी ओर चलते हुए चोटी का उन्नयन कोण 30° से बढ़कर 60° हो जाता है। उसने कितनी दूरी चली?
इमारत की चोटी उसकी आँखों से 30 − 1.5 = 28.5 मीटर ऊपर है। मान लो इमारत से उसकी दो दूरियाँ d₁ (30° पर) और d₂ (60° पर) हैं।
30° पर: tan 30° = 28.5 / d₁ → d₁ = 28.5 / (1/√3) = 28.5√3।
60° पर: tan 60° = 28.5 / d₂ → d₂ = 28.5 / √3 = 9.5√3।
चली गई दूरी = d₁ − d₂ = 28.5√3 − 9.5√3 = 19√3 ≈ 32.9 मीटर।
चुनौती
80 मीटर चौड़ी सड़क के दोनों किनारों पर आमने-सामने दो बराबर ऊँचाई के खंभे खड़े हैं। सड़क पर उनके बीच एक बिंदु से दोनों चोटियों के उन्नयन कोण 60° और 30° हैं। खंभों की ऊँचाई और बिंदु की हर खंभे से दूरी निकालो।
मान लो दोनों की एक-सी ऊँचाई h है, और बिंदु पहले खंभे (60° वाले) से x मीटर दूर है। तब वह दूसरे खंभे (30° वाले) से (80 − x) मीटर दूर है।
पहला खंभा: tan 60° = h / x → h = x√3। … (1)
दूसरा खंभा: tan 30° = h / (80 − x) → h = (80 − x)/√3। … (2)
(1) = (2) रखो: x√3 = (80 − x)/√3। √3 से गुणा करो: 3x = 80 − x → 4x = 80 → x = 20।
तो बिंदु पहले खंभे से 20 मीटर और दूसरे से 60 मीटर दूर है।
ऊँचाई h = x√3 = 20√3 ≈ 34.64 मीटर।
7 मीटर ऊँची एक इमारत की चोटी से एक केबल टावर की चोटी का उन्नयन कोण 60° और उसके पाद का अवनमन कोण 45° है। टावर की ऊँचाई निकालो।
मान लो इमारत और टावर के बीच क्षैतिज दूरी d है। इमारत की चोटी से टावर के पाद को देखने पर अवनमन 45° है; एकांतर कोणों से इमारत की छत के स्तर के नीचे टावर का हिस्सा 7 मीटर के बराबर है।
पाद तक अवनमन (45°): पाद छत के स्तर से 7 मीटर नीचे है, तो tan 45° = 7 / d → d = 7 मीटर।
चोटी तक उन्नयन (60°): टावर का छत के स्तर से ऊपर का हिस्सा, मान लो a, में tan 60° = a / d → a = d × √3 = 7√3 मीटर।
टावर की कुल ऊँचाई = (छत के स्तर से नीचे का हिस्सा) + (ऊपर का हिस्सा) = 7 + 7√3 = 7(1 + √3) ≈ 19.12 मीटर।
सारांश
अब तुम्हें यह समझा पाना चाहिए:
- दृष्टि रेखा प्रेक्षक की आँख से देखी जा रही वस्तु तक जाती सीधी रेखा है।
- उन्नयन कोण वह कोण है जो दृष्टि रेखा क्षैतिज के साथ बनाती है जब वस्तु आँख के स्तर से ऊपर हो (तुम ऊपर देखते हो); अवनमन कोण वह कोण है जब वस्तु आँख के स्तर से नीचे हो (तुम नीचे देखते हो)।
- ऊँचाई/दूरी का सवाल एक समकोण त्रिभुज बन जाता है: ऊर्ध्वाधर = ऊँचाई (सामने), क्षैतिज = दूरी (पास), दृष्टि रेखा = कर्ण।
- वह अनुपात चुनो जो जो पता है उसे जो चाहिए उससे जोड़े: tan (ऊँचाई व दूरी), sin (ऊँचाई व दृष्टि रेखा), cos (दूरी व दृष्टि रेखा)।
- अवनमन कोण वस्तु से प्रेक्षक तक के उन्नयन कोण के बराबर होता है (एकांतर कोण), तो तुम इसे त्रिभुज के अंदर ले जा सकते हो।
- अगर प्रेक्षक की अपनी ऊँचाई हो, तो त्रिभुज सिर्फ़ आँख के स्तर से ऊपर की ऊँचाई देता है — आख़िर में प्रेक्षक की ऊँचाई जोड़ो।
- दो कोणों वाले सवाल एक भुजा साझा करते दो समकोण त्रिभुजों में बँट जाते हैं; समीकरण बनाकर जोड़ो।
आगे क्या
अब तक आकृतियाँ त्रिभुज रही हैं। आगे, वृत्त में, मुख्य आकार गोल वाला है — और मुख्य विचार है स्पर्श रेखा: एक रेखा जो वृत्त को सिर्फ़ एक बिंदु पर छूती है। तुम पाओगे कि स्पर्श रेखा हमेशा स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है, और किसी बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची दो स्पर्श रेखाएँ ठीक-ठीक बराबर लंबाई की होती हैं — साफ़, चौंकाने वाले तथ्य जिन्हें तुम सिद्ध करके फिर इस्तेमाल कर सकते हो।