वृत्त
यह क्यों ज़रूरी है
साइकिल का पहिया सड़क पर लुढ़कते देखो। हर पल वह ज़मीन को ठीक एक ही बिंदु पर छूता है, और सड़क ऐसी रेखा की तरह बर्ताव करती है जो गोल पहिए को बस छूकर निकल जाती है। कुएँ पर लगी घिरनी पर चलती रस्सी देखो: रस्सी का हर हिस्सा घिरनी को एक ही बिंदु पर छूते हुए निकलता है। इन छूने वाली रेखाओं का एक ख़ास नाम है — स्पर्श रेखाएँ — और ये दो सुंदर नियम मानती हैं जो ज्यामिति, भौतिकी और डिज़ाइन में बार-बार आते हैं।
कक्षा 9 में तुमने सीखा था कि वृत्त क्या है: किसी निश्चित बिंदु (केंद्र) से एक निश्चित दूरी (त्रिज्या) पर पड़े सारे बिंदु। अब हम एक तीखा सवाल पूछते हैं: जब एक सरल रेखा और एक वृत्त एक ही समतल में हों, तो वे कैसे-कैसे मिल सकते हैं? रेखा वृत्त से पूरी तरह चूक सकती है, उसे आर-पार दो बिंदुओं पर काट सकती है, या उसे बस एक बिंदु पर छू सकती है। यही आख़िरी हाल — स्पर्श रेखा — इस अध्याय की पूरी कहानी है।
इनाम दो ऐसे तथ्य हैं जिन पर तुम हमेशा भरोसा कर सकते हो: स्पर्श रेखा हमेशा स्पर्श-बिंदु पर खींची त्रिज्या के साथ पूरा समकोण बनाती है, और किसी एक बाहरी बिंदु से खींची दो स्पर्श रेखाएँ ठीक-ठीक बराबर लंबाई की होती हैं। हम इन्हें सिर्फ़ बताएँगे नहीं — हम इन्हें सिद्ध करेंगे, ताकि तुम जानो कि ये सच हैं, न कि बस “आरेख में जैसा दिखता है” इतना ही।
मूल विचार
जब एक रेखा और एक वृत्त एक ही समतल में हों, तो वे सिर्फ़ तीन में से किसी एक तरीक़े से मिलते हैं: रेखा वृत्त से चूक जाती है (कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं — एक अप्रतिच्छेदी रेखा), उसे दो बिंदुओं पर काटती है (एक छेदक रेखा), या उसे ठीक एक बिंदु पर छूती है (एक स्पर्श रेखा)। स्पर्श रेखा वह सीमित हाल है जब छेदक रेखा के दोनों काटने वाले बिंदु आपस में मिलकर एक हो जाएँ। उस एकमात्र स्पर्श-बिंदु पर त्रिज्या और स्पर्श रेखा हमेशा लंब होती हैं, और वृत्त के बाहर के किसी भी बिंदु से तुम ठीक दो स्पर्श रेखाएँ खींच सकते हो — और वे लंबाई में बराबर होती हैं।
आओ इसे समझें
रेखा और वृत्त: तीन संभावनाएँ
एक वृत्त और एक सरल रेखा PQ एक ही समतल में लो और रेखा को इधर-उधर खिसकाओ। सिर्फ़ तीन ही स्थितियाँ कभी संभव हैं:
- कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं — रेखा वृत्त से दूर रहती है। यह एक अप्रतिच्छेदी रेखा है।
- दो उभयनिष्ठ बिंदु — रेखा वृत्त में घुसकर बाहर निकलती है, उसे A और B दो बिंदुओं पर काटती है। यह रेखा छेदक रेखा है।
- ठीक एक उभयनिष्ठ बिंदु — रेखा वृत्त को बस छूती है। यह रेखा स्पर्श रेखा है, और वह एकमात्र उभयनिष्ठ बिंदु स्पर्श-बिंदु कहलाता है।
कोई चौथी संभावना नहीं है। Tangent शब्द लैटिन के tangere से आया है, जिसका मतलब है “छूना”।
स्पर्श रेखा असल में एक छेदक रेखा को सीमा तक खींचा हुआ रूप है। सोचो कि एक छेदक रेखा को उसके समांतर रखते हुए बाहर की ओर खिसकाते हो: दोनों काटने वाले बिंदु पास-पास सरकते जाते हैं, जब तक मिलकर एक न हो जाएँ। उसी पल छेदक रेखा स्पर्श रेखा बन जाती है।
वृत्त की स्पर्श रेखा छेदक रेखा का वह विशेष रूप है जब उसके द्वारा काटी जीवा के दोनों सिरे मिलकर एक ही बिंदु बन जाएँ।
एक रेखा वृत्त को दो अलग-अलग बिंदुओं पर मिलती है। यह रेखा क्या कहलाती है, और क्या यह स्पर्श रेखा है?
किसी दिए बिंदु से कितनी स्पर्श रेखाएँ जाती हैं?
बिंदु वृत्त के सापेक्ष कहाँ बैठा है, यही सब कुछ तय करता है:
- वृत्त के अंदर का बिंदु — इससे जाने वाली हर रेखा वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती है, इसलिए वृत्त के अंदर के बिंदु से कोई स्पर्श रेखा नहीं जा सकती।
- वृत्त पर का बिंदु — उस बिंदु पर ठीक एक स्पर्श रेखा होती है।
- वृत्त के बाहर का बिंदु — उस बिंदु से तुम वृत्त की ठीक दो स्पर्श रेखाएँ खींच सकते हो।
| बिंदु कहाँ है | स्पर्श रेखाओं की संख्या |
|---|---|
| वृत्त के अंदर | कोई नहीं (0) |
| वृत्त पर | ठीक एक (1) |
| वृत्त के बाहर | ठीक दो (2) |
बाहरी बिंदु P से स्पर्श-बिंदु तक स्पर्श रेखा के टुकड़े की लंबाई P से स्पर्श रेखा की लंबाई कहलाती है। इसके बारे में एक सुंदर तथ्य हम अभी सिद्ध करेंगे।
प्रमेय 1 — स्पर्श रेखा स्पर्श-बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है
कथन। वृत्त के किसी भी बिंदु पर स्पर्श रेखा उस बिंदु से होकर जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है।
दिया है। केंद्र O वाला एक वृत्त और एक स्पर्श रेखा XY जो वृत्त को बिंदु P पर छूती है।
सिद्ध करना है। OP ⊥ XY।
उपपत्ति। रेखा XY पर P के सिवा कोई भी बिंदु Q लो, और OQ को जोड़ो।
अब Q वृत्त पर नहीं हो सकता — अगर होता, तो रेखा XY वृत्त को दो बिंदुओं (P और Q) पर मिलती और छेदक रेखा होती, स्पर्श रेखा नहीं। और Q वृत्त के अंदर भी नहीं हो सकता, उसी वजह से (अंदर के बिंदु से जाने वाली रेखा वृत्त को दो बार काटती है)। तो Q वृत्त के बाहर पड़ता है, यानी OQ त्रिज्या से लंबा है:
OQ > OP।
यह XY पर P के सिवा हर बिंदु Q के लिए सच है। तो रेखा XY के सारे बिंदुओं में P ही O के सबसे नज़दीक है — यानी OP, O से रेखा XY तक की सबसे छोटी दूरी है।
लेकिन किसी बिंदु से किसी रेखा तक की सबसे छोटी दूरी हमेशा लंब दूरी होती है। इसलिए OP को XY पर लंब होना ही चाहिए।
OP ⊥ XY। ∎
दो काम के परिणाम:
- वृत्त के किसी भी बिंदु पर एक और केवल एक स्पर्श रेखा होती है।
- स्पर्श-बिंदु पर त्रिज्या वाली रेखा को कभी-कभी उस बिंदु पर वृत्त का अभिलंब (normal) भी कहते हैं।
5 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के बिंदु P पर एक स्पर्श रेखा PQ, केंद्र O से होकर जाने वाली रेखा को बिंदु Q पर इस तरह मिलती है कि OQ = 12 cm। PQ की लंबाई ज्ञात करो।
- P स्पर्श-बिंदु है, इसलिए OP एक त्रिज्या है: OP = 5 cm। प्रमेय 1 से, स्पर्श रेखा PQ त्रिज्या OP पर लंब है, तो ∠OPQ = 90°।
- इससे △OPQ एक समकोण त्रिभुज बनता है, जिसका समकोण P पर है। यहाँ OQ कर्ण है (समकोण के सामने वाली भुजा), और OP, PQ दो भुजाएँ हैं।
- पाइथागोरस प्रमेय से: OQ² = OP² + PQ², तो PQ² = OQ² − OP² = 12² − 5² = 144 − 25 = 119।
- इसलिए PQ = √119 cm ≈ 10.9 cm। (ध्यान दो कि 5, 12 यहाँ पाइथागोरस जोड़ी नहीं है, क्योंकि 12 कर्ण है, भुजा नहीं — इसलिए जवाब थोड़ा अटपटा √119 है, कोई पूर्ण संख्या नहीं।)
प्रमेय 2 — बाहरी बिंदु से दो स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं
कथन। किसी बाहरी बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है।
दिया है। केंद्र O वाला एक वृत्त, वृत्त के बाहर पड़ा एक बिंदु P, और P से खींची दो स्पर्श रेखाएँ PA और PB, जो वृत्त को क्रमशः A और B पर छूती हैं।
सिद्ध करना है। PA = PB।
उपपत्ति। OA, OB और OP को जोड़ो।
चूँकि PA एक स्पर्श रेखा है और OA स्पर्श-बिंदु A तक की त्रिज्या है, प्रमेय 1 से ∠OAP = 90°। इसी तरह PB एक स्पर्श रेखा है और OB उसकी त्रिज्या, तो ∠OBP = 90°। तो △OAP और △OBP समकोण त्रिभुज हैं, और हर एक का समकोण स्पर्श-बिंदु पर है।
अब समकोण त्रिभुजों △OAP और △OBP की तुलना करो:
- OA = OB — दोनों एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ हैं।
- OP = OP — यह भुजा दोनों त्रिभुजों में उभयनिष्ठ है (हर एक का कर्ण यही है)।
- ∠OAP = ∠OBP = 90°।
तो RHS सर्वांगसमता नियम (समकोण – कर्ण – भुजा) से, △OAP ≅ △OBP।
चूँकि सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं (CPCT):
PA = PB। ∎
पाइथागोरस से एक झटपट दूसरा तरीक़ा। हर समकोण त्रिभुज में, PA² = OP² − OA² और PB² = OP² − OB²। पर OA = OB (त्रिज्याएँ), तो PA² = PB², यानी PA = PB।
एक बोनस तथ्य। सर्वांगसमता से हमें ∠OPA = ∠OPB भी मिलता है। तो OP, दोनों स्पर्श रेखाओं के बीच के कोण ∠APB को समद्विभाजित करता है — केंद्र हमेशा दो स्पर्श रेखाओं के बीच के कोण के समद्विभाजक पर पड़ता है।
एक चतुर्भुज ABCD इस तरह खींचा गया है कि उसकी चारों भुजाएँ एक वृत्त को छूती हैं (वृत्त उसके अंदर अंतर्निहित है)। सिद्ध करो कि AB + CD = AD + BC।
- मान लो वृत्त भुजाओं AB, BC, CD, DA को क्रमशः बिंदुओं P, Q, R, S पर छूता है। हर शीर्ष से वृत्त की दो स्पर्श रेखाएँ खिंचती हैं — वहाँ मिलने वाली दोनों भुजाएँ।
- प्रमेय 2 (बाहरी बिंदु से बराबर स्पर्श रेखाएँ) से, हर शीर्ष से दोनों स्पर्श-लंबाइयाँ बराबर हैं: A से AP = AS; B से BP = BQ; C से CR = CQ; D से DR = DS।
- इन चार बराबरियों के बाएँ पक्ष और दाएँ पक्ष जोड़ो: (AP + BP) + (CR + DR) = (AS + BQ) + (CQ + DS)। बायाँ समूह AB + CD है; दाएँ समूह को फिर से जमाओ (AS + DS) + (BQ + CQ) = AD + BC।
- इसलिए AB + CD = AD + BC — किसी भी वृत्त को परिगत करने वाले चतुर्भुज में, सम्मुख भुजाओं के दो योग बराबर होते हैं। ∎
केंद्र O वाले एक वृत्त पर बाहरी बिंदु T से दो स्पर्श रेखाएँ TP और TQ खींची गई हैं। सिद्ध करो कि ∠PTQ = 2 ∠OPQ।
- मान लो ∠PTQ = θ। प्रमेय 2 से, TP = TQ, तो △TPQ समद्विबाहु है जिसमें TP = TQ।
- समद्विबाहु त्रिभुज के आधार कोण बराबर होते हैं, और तीनों कोणों का योग 180° है: ∠TPQ = ∠TQP = ½(180° − θ) = 90° − ½θ।
- प्रमेय 1 से, त्रिज्या OP स्पर्श रेखा TP पर लंब है, तो ∠OPT = 90°।
- अब ∠OPQ = ∠OPT − ∠TPQ = 90° − (90° − ½θ) = ½θ = ½∠PTQ। 2 से गुणा करने पर ∠PTQ = 2 ∠OPQ। ∎
आम ग़लतियाँ
स्पर्श रेखा और स्पर्श-बिंदु पर त्रिज्या किसी आम कोण पर मिलती हैं जो वृत्त पर निर्भर करता है।
अलग-अलग आकार के वृत्त और अलग-अलग स्पर्श रेखाएँ इतनी अलग दिखती हैं कि लगता है कोण तस्वीर-दर-तस्वीर बदलना चाहिए।
यह हमेशा ठीक 90° होता है, हर वृत्त और हर स्पर्श रेखा के लिए। प्रमेय 1 सिद्ध करता है कि स्पर्श-बिंदु तक त्रिज्या, केंद्र से स्पर्श रेखा तक की सबसे छोटी दूरी है, और सबसे छोटी दूरी हमेशा लंब होती है।
त्रिज्या-स्पर्श वाले समकोण त्रिभुज में OQ² = OP² + PQ² का मतलब है OQ बस √(OP² + PQ²) है, तो PQ एक भुजा है जिसे जोड़कर निकाल सकते हैं।
विद्यार्थी 'पाइथागोरस = वर्गों को जोड़ो' याद रखते हैं और बिना यह जाँचे लगा देते हैं कि कौन-सी भुजा कर्ण है।
समकोण स्पर्श-बिंदु P पर है (त्रिज्या ⊥ स्पर्श रेखा), इसलिए OQ — केंद्र तक की रेखा — कर्ण है। तुम घटाते हो: PQ² = OQ² − OP²। जोड़ने पर ग़लत, बड़ा जवाब मिलता है।
वृत्त के किसी भी बिंदु से, अंदर हो या बाहर, दो स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं।
'दो बराबर स्पर्श रेखाएँ' वाला परिणाम इतना यादगार है कि लगता है हर जगह लागू होना चाहिए।
दो स्पर्श रेखाएँ सिर्फ़ वृत्त के बाहर के बिंदु से आती हैं। वृत्त पर के बिंदु से ठीक एक स्पर्श रेखा होती है; अंदर के बिंदु से कोई नहीं (अंदर के बिंदु से जाने वाली हर रेखा वृत्त को दो बार काटती है)।
बाहरी बिंदु से दो स्पर्श रेखाएँ सिर्फ़ साफ़-सुथरी किताबी आकृतियों में बराबर दिखती हैं; टेढ़ी आकृति में वे अलग होंगी।
हाथ से खींची या टेढ़ी आकृति में PA, PB से लंबी दिख सकती है, इसलिए बराबरी सावधानी से खींचने का नतीजा-सी लगती है।
PA = PB एक सिद्ध प्रमेय है (△OAP और △OBP की RHS सर्वांगसमता), जो हर बाहरी बिंदु और हर वृत्त के लिए सच है, चाहे आकृति जैसी भी खिंची हो। केंद्र तो दोनों स्पर्श रेखाओं के बीच के कोण के समद्विभाजक पर भी पड़ता है।
झटपट जाँच
एक सरल रेखा किसी वृत्त को ठीक एक बिंदु पर छूती है। यह रेखा क्या कहलाती है?
केंद्र O वाले वृत्त के बिंदु P पर स्पर्श रेखा, त्रिज्या OP के साथ कौन-सा कोण बनाती है?
किसी बिंदु Q से वृत्त की स्पर्श रेखा की लंबाई 24 cm है और Q की केंद्र से दूरी 25 cm है। वृत्त की त्रिज्या क्या है?
एक बाहरी बिंदु P से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ PA और PB खींची गई हैं। कौन-सा कथन हमेशा सच है?
अभ्यास प्रश्न
आसान
किसी वृत्त के केंद्र से 5 cm दूरी पर पड़े बिंदु A से स्पर्श रेखा की लंबाई 4 cm है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करो।
मान लो स्पर्श रेखा वृत्त को B पर छूती है, केंद्र O है। त्रिज्या OB स्पर्श रेखा AB पर लंब है, तो △OBA, B पर समकोण है।
यहाँ OA = 5 cm कर्ण है और AB = 4 cm एक भुजा है। पाइथागोरस से:
OB² = OA² − AB² = 5² − 4² = 25 − 16 = 9।
तो त्रिज्या OB = 3 cm।
किसी वृत्त की (i) अंदर के बिंदु, (ii) उस पर के बिंदु, (iii) बाहर के बिंदु से कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं?
(i) वृत्त के अंदर के बिंदु से: 0 स्पर्श रेखाएँ — अंदर के बिंदु से जाने वाली हर रेखा वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती है।
(ii) वृत्त पर के बिंदु से: ठीक 1 स्पर्श रेखा।
(iii) वृत्त के बाहर के बिंदु से: ठीक 2 स्पर्श रेखाएँ (और वे लंबाई में बराबर होती हैं)।
मध्यम
दो संकेंद्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ 5 cm और 3 cm हैं। बड़े वृत्त की उस जीवा की लंबाई ज्ञात करो जो छोटे वृत्त को छूती है।
मान लो O उभयनिष्ठ केंद्र है। बड़े वृत्त की जीवा AB छोटे वृत्त को बिंदु P पर छूती है, तो OP छोटे वृत्त की त्रिज्या है और AB पर लंब है (स्पर्श रेखा ⊥ त्रिज्या): OP = 3 cm।
चूँकि OP ⊥ AB और OP केंद्र से खींचा है, OP जीवा को समद्विभाजित करता है (केंद्र से लंब जीवा को समद्विभाजित करता है)। तो P, AB का मध्यबिंदु है, और AP = PB।
समकोण त्रिभुज OPA में, OA = 5 cm (बड़े वृत्त की त्रिज्या) कर्ण है:
AP² = OA² − OP² = 5² − 3² = 25 − 9 = 16, तो AP = 4 cm।
पूरी जीवा AB = 2 × AP = 2 × 4 = 8 cm।
सिद्ध करो कि किसी वृत्त के व्यास के दोनों सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समांतर होती हैं।
मान लो AB केंद्र O वाले एक वृत्त का व्यास है। A पर स्पर्श रेखा और B पर स्पर्श रेखा खींचो।
प्रमेय 1 से, A पर स्पर्श रेखा त्रिज्या OA पर लंब है, और B पर स्पर्श रेखा त्रिज्या OB पर लंब है। चूँकि AB एक व्यास है, OA और OB एक ही सरल रेखा AB पर पड़ते हैं।
तो दोनों स्पर्श रेखाएँ एक ही रेखा AB पर लंब हैं। जो दो रेखाएँ एक ही रेखा पर लंब हों, वे एक-दूसरे के समांतर होती हैं।
इसलिए व्यास के सिरों पर खींची स्पर्श रेखाएँ समांतर हैं। ∎
चुनौती
PQ, 5 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त की 8 cm लंबी जीवा है। P और Q पर स्पर्श रेखाएँ एक बिंदु T पर मिलती हैं। TP की लंबाई ज्ञात करो।
OT जोड़ो (O केंद्र है)। चूँकि TP = TQ (बराबर स्पर्श रेखाएँ), △TPQ समद्विबाहु है, और TO, ∠PTQ का समद्विभाजक है। तो OT ⊥ PQ और OT, PQ को बिंदु R पर समद्विभाजित करता है, जिससे PR = RQ = 4 cm।
समकोण त्रिभुज OPR में (R पर समकोण), OP = 5 cm कर्ण है: OR² = OP² − PR² = 5² − 4² = 25 − 16 = 9, तो OR = 3 cm।
अब कोणों का इस्तेमाल करो। समकोण △OPT में त्रिज्या OP ⊥ स्पर्श रेखा TP, तो ∠OPT = 90°, यानी ∠TPR + ∠RPO = 90°। समकोण △TPR में (R पर समकोण), ∠TPR + ∠PTR = 90°। इनकी तुलना करने पर, ∠RPO = ∠PTR।
तो समकोण त्रिभुज TRP, समकोण त्रिभुज PRO के समरूप है (AA समरूपता)। संगत भुजाएँ मिलाने पर:
TP / PO = RP / RO, यानी TP / 5 = 4 / 3, तो TP = 20/3 cm ≈ 6.67 cm।
(पाइथागोरस से जाँच, TP = x, TR = y लेकर: △PRT से x² = y² + 16, और △OPT से x² + 25 = (y + 3)²। घटाने पर y = 16/3, फिर x² = (16/3)² + 16 = 400/9, तो x = 20/3 cm। ✓)
सारांश
अब तुम यह समझा पाने योग्य होने चाहिए:
- वृत्त के समतल की कोई रेखा या तो उससे चूक जाती है, या उसे दो बिंदुओं पर काटती है (एक छेदक रेखा), या उसे ठीक एक बिंदु पर छूती है (एक स्पर्श रेखा); वह छूने वाला बिंदु स्पर्श-बिंदु है।
- स्पर्श रेखा छेदक रेखा का सीमित रूप है, जब उसके दोनों काटने वाले बिंदु मिलकर एक हो जाएँ।
- किसी बिंदु से स्पर्श रेखाएँ: अंदर से कोई नहीं, वृत्त पर के बिंदु से ठीक एक, बाहर के बिंदु से ठीक दो।
- प्रमेय 1: किसी भी बिंदु पर स्पर्श रेखा स्पर्श-बिंदु से होकर जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है (सिद्ध, क्योंकि त्रिज्या केंद्र से स्पर्श रेखा तक की सबसे छोटी दूरी है)।
- प्रमेय 2: किसी बाहरी बिंदु से दो स्पर्श रेखाएँ लंबाई में बराबर होती हैं (दो समकोण त्रिभुजों की RHS सर्वांगसमता से सिद्ध), और केंद्र उनके बीच के कोण के समद्विभाजक पर पड़ता है।
- त्रिज्या और स्पर्श रेखा से बने किसी भी समकोण त्रिभुज में, केंद्र तक की रेखा कर्ण होती है — तो स्पर्श-लंबाई निकालने के लिए वर्गों को घटाते हो।
आगे क्या
अब तुम जानते हो कि रेखाएँ वृत्तों को कैसे छूती हैं। अगला, वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल में, तुम वृत्त को ही नापोगे — उसका क्षेत्रफल और परिधि, फिर चाप की लंबाई, और त्रिज्यखंड व वृत्तखंड के क्षेत्रफल (पिज़्ज़ा-स्लाइस और धनुष-आकार के टुकड़े)। ये सूत्र, इस अध्याय के स्पर्श-रेखा तथ्यों के साथ मिलकर, तुम्हें डिज़ाइन और असल ज़िंदगी में मिलने वाली तरह-तरह की वक्रित आकृतियों के क्षेत्रफल निकालने देते हैं।