द्विघात समीकरण
यह क्यों ज़रूरी है
मान लो एक न्यास एक प्रार्थना भवन चाहता है जिसका कालीन क्षेत्रफल 300 वर्ग मीटर हो, और लंबाई चौड़ाई के दुगुने से एक मीटर ज़्यादा हो। कौन-सी माप चलेगी? अगर चौड़ाई x मीटर है, तो लंबाई (2x + 1) मीटर है, सो क्षेत्रफल x(2x + 1) = 2x² + x = 300। ग़ौर करो x² पर — यह अब सरल-रेखा वाला समीकरण नहीं रहा। तुम बस इधर-उधर करके भाग देकर निकल नहीं सकते; वह वर्ग वाला पद सब कुछ बदल देता है।
ऐसे समीकरण — जहाँ अनजान की सबसे बड़ी घात 2 होती है — द्विघात समीकरण कहलाते हैं, और ये हर जगह हैं: फेंकी गई गेंद का रास्ता, खेत का क्षेत्रफल, उस रेल की चाल जो तेज़ चलती तो जल्दी पहुँचती, क़ीमत पर निर्भर मुनाफ़ा। अध्याय 3 में हर समीकरण एक सरल रेखा खींचता था। यहाँ एक समीकरण एक परवलय (U-आकार का वक्र) बनाता है, और इसीलिए एक द्विघात के दो जवाब हो सकते हैं, एक, या कोई नहीं।
यह अध्याय तुम्हें इन्हें हल करने के दो भरोसेमंद तरीक़े देता है — गुणनखंड और मशहूर द्विघात सूत्र — और एक अकेली संख्या, विविक्तकर, जो पहले ही बता देती है कि कितने वास्तविक जवाब अपेक्षित हैं। और सबसे अच्छी बात: सूत्र को आँख मूँदकर रटना नहीं है — तुम इसे शून्य से बनते देखोगे।
मूल विचार
द्विघात समीकरण वह है जिसे ax² + bx + c = 0 के रूप में लिखा जा सके, जहाँ a ≠ 0। इसके हल मूल कहलाते हैं — x के वे मान जो बाएँ पक्ष को शून्य बनाएँ, यानी बिलकुल बहुपद ax² + bx + c के शून्यक। चूँकि किसी द्विघात बहुपद के अधिक से अधिक दो शून्यक होते हैं, एक द्विघात समीकरण के अधिक से अधिक दो मूल होते हैं। इन्हें तुम या तो दो रैखिक टुकड़ों में गुणनखंड करके पाते हो, या द्विघात सूत्र x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a से। मूल चिह्न के नीचे की राशि, D = b² − 4ac, यानी विविक्तकर, पूरी कहानी तय करती है: D > 0 → दो मूल, D = 0 → एक दोहरा मूल, D < 0 → कोई नहीं।
आओ इसे समझें
द्विघात समीकरण क्या गिना जाता है
किसी x वाले द्विघात समीकरण का मानक रूप ax² + bx + c = 0 होता है, जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं और a ≠ 0 (अगर a शून्य हो तो x² पद ही नहीं रहेगा और यह बस रैखिक हो जाएगा)। उदाहरण: 2x² + x − 300 = 0, 2x² − 3x + 1 = 0, 1 − x² + 300 = 0।
पेच यह है: कई समीकरण द्विघात दिखते हैं पर होते नहीं, और कुछ घन (cubic) दिखते हैं पर चुपके से द्विघात होते हैं। तय करने से पहले हमेशा पहले मानक रूप में सरल करो — सब कुछ एक तरफ़ लाओ और समान पद जोड़ो।
बताओ हर एक द्विघात समीकरण है या नहीं: (i) x(x + 1) + 8 = (x + 2)(x − 2); (ii) (x + 2)³ = x³ − 4।
- (i) दोनों पक्ष फैलाओ: बायाँ = x² + x + 8; दायाँ = x² − 4।
- एक तरफ़ लाओ: x² + x + 8 = x² − 4 → x + 12 = 0। x² पद कट गए! घात 1 है, सो यह द्विघात समीकरण नहीं है।
- (ii) बायाँ फैलाओ: (x + 2)³ = x³ + 6x² + 12x + 8। इसे x³ − 4 के बराबर रखो।
- x³ + 6x² + 12x + 8 = x³ − 4 → x³ कट जाता है → 6x² + 12x + 12 = 0, यानी x² + 2x + 2 = 0। यह द्विघात समीकरण है (बस घन दिखता था)। तो परखने से पहले हमेशा सरल करो।
मूल: हम किसकी तलाश में हैं
कोई वास्तविक संख्या α को ax² + bx + c = 0 का मूल कहते हैं अगर x = α रखने पर समीकरण सच हो जाए, यानी aα² + bα + c = 0। यहाँ “मूल”, “हल”, और “बहुपद का शून्यक” सब एक ही बात हैं। जैसे x = 1, 2x² − 3x + 1 = 0 का मूल है क्योंकि 2(1)² − 3(1) + 1 = 0। चूँकि किसी द्विघात बहुपद के अधिक से अधिक दो शून्यक होते हैं, एक द्विघात समीकरण के अधिक से अधिक दो मूल होते हैं — यह सीमा ध्यान में रखो।
गुणनखंड से हल करना (मध्य पद को तोड़ना)
यह तरीक़ा एक तथ्य पर टिका है: अगर दो चीज़ों का गुणनफल शून्य है, तो उनमें से कम से कम एक शून्य है। सो अगर हम ax² + bx + c को दो रैखिक गुणनखंडों के गुणनफल, मान लो (px + q)(rx + s), के रूप में लिख सकें, तो (px + q)(rx + s) = 0 हमें मजबूर करता है कि px + q = 0 या rx + s = 0 — दो छोटे समीकरण जिन्हें हम अलग-अलग हल कर सकते हैं।
गुणनखंड के लिए, मध्य पद bx को ऐसे दो भागों में तोड़ो जिनके गुणांक गुणा करने पर a × c आएँ और जोड़ने पर b।
2x² − 5x + 3 = 0 के मूल ज्ञात करो।
- यहाँ a = 2, b = −5, c = 3। हमें ऐसे दो अंक चाहिए जो गुणा करने पर a × c = 2 × 3 = 6 दें और जोड़ने पर b = −5। वे हैं −2 और −3 (क्योंकि −2 × −3 = 6 और −2 + −3 = −5)।
- मध्य पद तोड़ो: 2x² − 2x − 3x + 3 = 0।
- समूह बनाकर सामान्य गुणनखंड लो: 2x(x − 1) − 3(x − 1) = 0 → (2x − 3)(x − 1) = 0।
- हर गुणनखंड को शून्य रखो: 2x − 3 = 0 → x = 3/2; और x − 1 = 0 → x = 1। सो मूल हैं x = 3/2 और x = 1। (जाँच: 2(1)² − 5(1) + 3 = 0 ✓।)
प्रार्थना भवन का क्षेत्रफल 300 m² है, लंबाई चौड़ाई के दुगुने से एक मीटर ज़्यादा: चौड़ाई x के लिए 2x² + x − 300 = 0 हल करो।
- a = 2, b = 1, c = −300। ऐसे दो अंक चाहिए जो गुणा करने पर a × c = 2 × (−300) = −600 दें और जोड़ने पर 1। वे हैं 25 और −24।
- तोड़ो: 2x² + 25x − 24x − 300 = 0।
- समूह: x(2x + 25) − 12(2x + 25) = 0 → (2x + 25)(x − 12) = 0।
- सो x = −25/2 = −12.5 या x = 12। चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, सो चौड़ाई = 12 m और लंबाई = 2x + 1 = 25 m।
जब किसी द्विघात का गुणनखंड करने पर एक गुणनखंड दोहरा हो — जैसे (3x − √2)² = 0 — तो कितने भिन्न मूल होते हैं, और हम उन्हें क्या कहते हैं?
पूर्ण वर्ग बनाकर द्विघात सूत्र की व्युत्पत्ति
गुणनखंड तभी तेज़ है जब अच्छे गुणनखंड मौजूद हों — पर अक्सर नहीं होते। हमें एक ऐसा तरीक़ा चाहिए जो हमेशा चले। विचार है पूर्ण वर्ग बनाना: ax² + bx + c को ऐसे ढालो कि x वाला भाग (x + कुछ)² जैसा पूर्ण वर्ग बन जाए, जिसे फिर हम वर्गमूल से खोल सकें।
यह व्युत्पत्ति ही द्विघात सूत्र की उपपत्ति (proof) है। यह रही, चरण दर चरण।
प्रमेय (द्विघात सूत्र)। ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) के मूल x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a हैं, बशर्ते b² − 4ac ≥ 0।
उपपत्ति। ax² + bx + c = 0 से शुरू करो। चूँकि a ≠ 0, हर पद को a से भाग दो:
x² + (b/a)x + c/a = 0.
अब x² + (b/a)x को देखो। हम इसे पूर्ण वर्ग बनाना चाहते हैं। याद करो (x + k)² = x² + 2kx + k²। 2k को b/a से मिलाने पर k = b/(2a), सो हमें k² = b²/(4a²) जोड़ना है। इसे जोड़ो और घटाओ (यानी शून्य जोड़ा, सो समीकरण नहीं बदलता):
x² + (b/a)x + b²/(4a²) − b²/(4a²) + c/a = 0.
पहले तीन पद अब एक पूर्ण वर्ग हैं:
(x + b/(2a))² = b²/(4a²) − c/a.
दाएँ पक्ष को सामान्य हर 4a² पर मिलाओ: b²/(4a²) − c/a = (b² − 4ac) / (4a²)। सो:
(x + b/(2a))² = (b² − 4ac) / (4a²).
अगर b² − 4ac ≥ 0, तो दोनों पक्षों का वर्गमूल लो (दाएँ पक्ष का हर 4a² = (2a)² एक पूर्ण वर्ग है):
x + b/(2a) = ± √(b² − 4ac) / (2a).
अंत में b/(2a) घटाओ और मिलाओ:
x = −b/(2a) ± √(b² − 4ac) / (2a) = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a.
यही सूत्र है। ∎ यह एक अकेली अभिव्यक्ति वास्तविक मूलों वाले हर द्विघात को हल करती है — इसका श्रेय श्रीधराचार्य (लगभग 1025 ई.) को जाता है, जिन्होंने इसे ठीक इसी पूर्ण-वर्ग विधि से व्युत्पन्न किया।
द्विघात सूत्र से x² + 7x − 60 = 0 हल करो।
- पहचानो a = 1, b = 7, c = −60।
- विविक्तकर निकालो: b² − 4ac = 7² − 4(1)(−60) = 49 + 240 = 289।
- चूँकि 289 ≥ 0, लगाओ x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a = (−7 ± √289) / 2 = (−7 ± 17) / 2।
- सो x = (−7 + 17)/2 = 5 या x = (−7 − 17)/2 = −12। मूल हैं x = 5 और x = −12।
विविक्तकर और मूलों की प्रकृति
सूत्र को फिर देखो: सब कुछ b² − 4ac पर टिका है, वर्गमूल के नीचे का भाग। हम इसे विविक्तकर कहते हैं, D = b² − 4ac। यह तीन संभव हालों में पहले ही “भेद” कर देता है, हल पूरा करने से पहले — क्योंकि किसी ऋणात्मक संख्या का वास्तविक वर्गमूल नहीं लिया जा सकता।
प्रमेय (मूलों की प्रकृति)। ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) के लिए, D = b² − 4ac के साथ:
उपपत्ति। सूत्र से, x = (−b ± √D) / 2a।
- अगर D > 0: √D एक धनात्मक वास्तविक संख्या है, सो −b + √D और −b − √D अलग हैं। दोनों मान (−b + √D)/2a और (−b − √D)/2a दो भिन्न वास्तविक मूल हैं।
- अगर D = 0: √D = 0, सो x = −b/2a ”± 0” वही मान दो बार देता है। एक ही मान है, जिसे दो बराबर वास्तविक मूल (एक दोहरा मूल) गिना जाता है, x = −b/2a पर।
- अगर D < 0: कोई वास्तविक संख्या नहीं जिसका वर्ग ऋणात्मक D हो, सो √D वास्तविक नहीं है। इसलिए सूत्र कोई वास्तविक मूल नहीं देता। ∎
ज्यामितीय रूप से, y = ax² + bx + c का आलेख एक परवलय है, और वास्तविक मूल ठीक वहीं हैं जहाँ यह x-अक्ष को काटता है। तीनों हाल बस वे तीन तरीक़े हैं जिनसे एक परवलय उस अक्ष के सापेक्ष बैठ सकता है:
| विविक्तकर D = b² − 4ac | मूलों की प्रकृति | परवलय बनाम x-अक्ष |
|---|---|---|
| D > 0 | दो भिन्न वास्तविक मूल | अक्ष को दो बिंदुओं पर काटता है |
| D = 0 | दो बराबर वास्तविक मूल (एक दोहरा) | अक्ष को बस छूता है |
| D < 0 | कोई वास्तविक मूल नहीं | अक्ष से कभी नहीं मिलता |
2x² − 4x + 3 = 0 का विविक्तकर ज्ञात करो और मूलों की प्रकृति बताओ।
- यहाँ a = 2, b = −4, c = 3।
- D = b² − 4ac = (−4)² − 4(2)(3) = 16 − 24 = −8।
- चूँकि D = −8 < 0, कोई वास्तविक वर्गमूल नहीं है, सो समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।
3x² − 2x + 1/3 = 0 का विविक्तकर ज्ञात करो, मूलों की प्रकृति बताओ, और वास्तविक हों तो उन्हें ज्ञात करो।
- यहाँ a = 3, b = −2, c = 1/3।
- D = (−2)² − 4 × 3 × (1/3) = 4 − 4 = 0। सो दो बराबर वास्तविक मूल हैं।
- दोहरा मूल x = −b/2a = −(−2)/(2 × 3) = 2/6 = 1/3।
- सो मूल हैं x = 1/3 और x = 1/3 (बराबर)।
शब्द-समस्याओं में द्विघात
कई असली परिस्थितियाँ द्विघात पर आ टिकती हैं। नुस्ख़ा हर बार वही है: अनजान को नाम दो, शब्दों को ax² + bx + c = 0 में बदलो, हल करो, फिर उस जवाब को अस्वीकार करो जो परिस्थिति में फ़िट न हो (लंबाई, उम्र, या गिनती ऋणात्मक नहीं हो सकती)।
13 m व्यास वाले गोलाकार पार्क की सीमा पर एक खंभा ऐसे गाड़ना है कि व्यासतः सम्मुख दो द्वारों A और B से उसकी दूरियाँ 7 m से भिन्न हों। क्या यह संभव है? अगर हाँ, तो हर द्वार से दूरी ज्ञात करो।
- मान लो BP = x m। चूँकि दूरियाँ 7 से भिन्न हैं, AP = (x + 7) m। चूँकि AB = 13 m एक व्यास है, कोण APB = 90°, सो पाइथागोरस से AP² + BP² = AB²।
- (x + 7)² + x² = 13² → x² + 14x + 49 + x² = 169 → 2x² + 14x − 120 = 0 → 2 से भाग: x² + 7x − 60 = 0।
- विविक्तकर D = 7² − 4(1)(−60) = 49 + 240 = 289 > 0, सो वास्तविक मूल मौजूद हैं — हाँ, खंभा गाड़ा जा सकता है।
- x = (−7 ± √289)/2 = (−7 ± 17)/2 → x = 5 या x = −12। दूरी ऋणात्मक नहीं हो सकती, सो x = 5। खंभा द्वार B से 5 m और द्वार A से 12 m पर है।
आम ग़लतियाँ
ax² + bx + c = 0 द्विघात है, बस इसमें कहीं x² लिखा हो।
x² पद आँखों में तुरंत कूद पड़ता है, सो उसे देख लेना ही काफ़ी लगता है — और किसी साफ़-सुथरे पाठ्यपुस्तक समीकरण में अक्सर होता भी है।
यह द्विघात तभी है जब मानक रूप में सरल करने के बाद x² का गुणांक शून्य न हो (a ≠ 0)। (x + 2)(x − 2) = x² − 4 में x² कट जाता है और यह रैखिक है; (x + 2)³ = x³ − 4 में x³ कट जाता है और घन-दिखने वाला समीकरण द्विघात बन जाता है। हमेशा पहले सरल करो।
किसी द्विघात को हल करने के लिए तुम दोनों पक्षों को x से भाग देकर उसे काट सकते हो।
पहले के सारे बीजगणित में काटना चलता आया है, सो x से भाग देना एक जाना-पहचाना, उचित क़दम लगता है।
x से भाग देना चुपचाप मान लेता है कि x ≠ 0 और मूल x = 0 को फेंक देता है। x² − 5x = 0 के लिए x(x − 5) = 0 गुणनखंड करो ताकि दोनों मूल x = 0 और x = 5 बचे रहें। समीकरण को चर से कभी भाग मत दो।
अगर किसी गुणनफल का मान कोई भी संख्या हो, जैसे (x − 2)(x − 3) = 6, तो x − 2 = 6 या x − 3 = 6।
'हर गुणनखंड को बराबर रखो' नियम इतना सुविधाजनक है कि लगता है यह किसी भी दाएँ-पक्ष मान के लिए चलना चाहिए, सिर्फ़ शून्य के लिए नहीं।
शून्य-गुणनफल नियम के लिए एक तरफ़ शून्य चाहिए: सिर्फ़ 'गुणनफल = 0' किसी गुणनखंड को 0 होने पर मजबूर करता है। पहले (x − 2)(x − 3) = 6 को फैलाकर x² − 5x + 6 − 6 = 0 → x² − 5x = 0 में बदलो, फिर गुणनखंड करके शून्य रखो।
अगर विविक्तकर ऋणात्मक है, तो द्विघात समीकरण का कोई हल ही नहीं, सो समस्या अहल है।
कक्षा 10 में 'कोई वास्तविक मूल नहीं' और 'कोई हल नहीं' एक-से सुनाई देते हैं, सो ऋणात्मक D एक बंद गली या ग़लती-सा लगता है।
D < 0 का मतलब कोई वास्तविक मूल नहीं — परवलय बस x-अक्ष को कभी नहीं छूता। यह बिलकुल वैध जवाब है (जैसे 'नहीं, ऐसा आयत बन ही नहीं सकता')। यह वास्तविक संख्याओं के भीतर असंभवता का संकेत है, तुम्हारी गणना में ग़लती का नहीं।
झटपट जाँच
इनमें से कौन-सा मानक रूप ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) वाला द्विघात समीकरण है?
6x² − x − 2 = 0 को मध्य पद तोड़कर हल करने के लिए कौन-से दो अंक चाहिए (जो गुणा करने पर a × c दें और जोड़ने पर b)?
किसी द्विघात समीकरण का विविक्तकर D = 0 है। उसके मूलों की प्रकृति क्या है?
द्विघात सूत्र में वर्गमूल चिह्न के नीचे की अभिव्यक्ति क्या है?
अभ्यास प्रश्न
आसान
गुणनखंड से x² − 3x − 10 = 0 के मूल ज्ञात करो।
हमें ऐसे दो अंक चाहिए जो गुणा करने पर a × c = 1 × (−10) = −10 दें और जोड़ने पर b = −3। वे हैं −5 और 2।
तोड़ो: x² − 5x + 2x − 10 = 0 → x(x − 5) + 2(x − 5) = 0 → (x − 5)(x + 2) = 0।
सो x − 5 = 0 या x + 2 = 0, यानी x = 5 और x = −2। (जाँच: 5² − 3(5) − 10 = 25 − 15 − 10 = 0 ✓।)
2x² − 3x + 5 = 0 का विविक्तकर ज्ञात करो और मूलों की प्रकृति बताओ।
यहाँ a = 2, b = −3, c = 5।
D = b² − 4ac = (−3)² − 4(2)(5) = 9 − 40 = −31।
चूँकि D = −31 < 0, समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।
मध्यम
दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात करो जिनके वर्गों का योग 365 हो।
मान लो पूर्णांक x और x + 1 हैं। तब x² + (x + 1)² = 365।
फैलाओ: x² + x² + 2x + 1 = 365 → 2x² + 2x − 364 = 0 → 2 से भाग → x² + x − 182 = 0।
गुणनखंड: ऐसे अंक चाहिए जो गुणा करने पर −182 दें, जोड़ने पर 1 → 14 और −13। सो (x + 14)(x − 13) = 0 → x = −14 या x = 13।
पूर्णांक धनात्मक हैं, सो x = 13। संख्याएँ हैं 13 और 14। (जाँच: 13² + 14² = 169 + 196 = 365 ✓।)
गुणनखंड से 3x² − 2√6·x + 2 = 0 हल करो, और मूलों की प्रकृति बताओ।
मध्य पद −2√6·x को तोड़ो। हमें ऐसे भाग चाहिए जो गुणा करने पर (3)(2) = 6 दें — √6 के साथ लिखें तो ये −√6·x और −√6·x हैं (क्योंकि √6 × √6 = 6 और वे जोड़ने पर −2√6 देते हैं)।
3x² − √6·x − √6·x + 2 = 0 → √3·x(√3·x − √2) − √2(√3·x − √2) = 0 → (√3·x − √2)(√3·x − √2) = 0।
सो गुणनखंड (√3·x − √2) दोहरा है: √3·x − √2 = 0 → x = √2/√3।
दोनों मूल बराबर हैं: x = √2/√3 और x = √2/√3। (वाक़ई D = (2√6)² − 4(3)(2) = 24 − 24 = 0, जो दो बराबर वास्तविक मूलों की पुष्टि करता है।)
चुनौती
एक रेल समान चाल से 480 km चलती है। अगर इसकी चाल 8 km/h कम होती, तो उतनी ही दूरी तय करने में 3 घंटे ज़्यादा लगते। रेल की चाल ज्ञात करो।
मान लो चाल x km/h है। समय = दूरी ÷ चाल = 480/x घंटे।
कम चाल (x − 8) पर, समय = 480/(x − 8), जो 3 घंटे ज़्यादा है:
480/(x − 8) = 480/x + 3।
x(x − 8) से गुणा करो: 480x = 480(x − 8) + 3x(x − 8)।
480x = 480x − 3840 + 3x² − 24x → 0 = 3x² − 24x − 3840 → 3 से भाग → x² − 8x − 1280 = 0।
गुणनखंड (ऐसे अंक जो गुणा करने पर −1280, जोड़ने पर −8 → 32 और −40): (x − 40)(x + 32) = 0 → x = 40 या x = −32।
चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती, सो रेल की चाल 40 km/h है। (जाँच: 480/40 = 12 घंटे; 480/32 = 15 घंटे; अंतर 3 घंटे ✓।)
k का वह मान ज्ञात करो जिसके लिए द्विघात समीकरण 2x² + kx + 3 = 0 के दो बराबर मूल हों।
दो बराबर मूल का मतलब विविक्तकर शून्य: D = b² − 4ac = 0।
यहाँ a = 2, b = k, c = 3, सो D = k² − 4(2)(3) = k² − 24।
D = 0 रखो: k² − 24 = 0 → k² = 24 → k = ±√24 = ±2√6।
सो k = 2√6 या k = −2√6। (किसी भी मान के लिए समीकरण के दो बराबर वास्तविक मूल होते हैं।)
सारांश
अब तुम यह समझा सकने चाहिए:
- द्विघात समीकरण वह है जो सरल करने पर ax² + bx + c = 0 बन जाए, जहाँ a, b, c वास्तविक हों और a ≠ 0। समीकरण द्विघात है या नहीं, यह तय करने से पहले हमेशा मानक रूप में सरल करो।
- मूल (= हल = बहुपद का शून्यक) वह मान α है जिससे aα² + bα + c = 0। किसी द्विघात के अधिक से अधिक दो मूल होते हैं।
- गुणनखंड: मध्य पद bx को ऐसे भागों में तोड़ो जो गुणा करने पर a × c दें और जोड़ने पर b, दो रैखिक में गुणनखंड करो, फिर हर गुणनखंड को शून्य रखो (इसके लिए एक तरफ़ शून्य चाहिए)।
- द्विघात सूत्र: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a, पूर्ण वर्ग बनाकर व्युत्पन्न — वास्तविक मूल होने पर यह हमेशा चलता है।
- विविक्तकर D = b² − 4ac मूलों की प्रकृति देता है: D > 0 → दो भिन्न वास्तविक मूल; D = 0 → दो बराबर वास्तविक मूल; D < 0 → कोई वास्तविक मूल नहीं। ये परवलय के x-अक्ष को काटने, छूने, या चूकने से मेल खाते हैं।
- शब्द-समस्याओं में द्विघात में बदलो, हल करो, और उन जवाबों को अस्वीकार करो (ऋणात्मक लंबाई, उम्र, चाल) जो परिस्थिति में फ़िट न हों।
आगे क्या
द्विघात एक वर्ग वाले अनजान के बारे में थे। आगे, समांतर श्रेढ़ी में, हम संख्याओं के उन पैटर्नों पर लौटते हैं जो एक तय क़दम से बढ़ते हैं — जैसे 5, 8, 11, 14, … — और nवें पद तथा कई पदों के योग के सुंदर सूत्र पाते हैं। (और एक हैरानी पर नज़र रखना: किसी समांतर श्रेढ़ी का योग जोड़ना अक्सर सीधे वापस किसी द्विघात समीकरण पर ले आता है।)