दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म
यह क्यों ज़रूरी है
रोज़मर्रा की कितनी ही पहेलियों में दो अनजान चीज़ें आपस में उलझी होती हैं। ₹2000 कुल 25 नोटों में ₹50 और ₹100 के कितने-कितने नोट बनाते हैं? अगर 5 पेंसिल और 7 पेन के ₹50 पर 7 पेंसिल और 5 पेन के ₹46 हों, तो हर एक की क़ीमत क्या है? किसी एक तथ्य से तुम कोई भी अनजान नहीं पकड़ सकते — तुम्हें दो शर्तें चाहिए, और उन्हें सुलझाने का तरीक़ा।
यही एक रैखिक समीकरण युग्म है: दो अनजानों के बारे में दो तथ्य, दो सरल-रेखा समीकरणों के रूप में लिखे। युग्म को हल करने का मतलब है मानों का वह एक जोड़ा (x, y) ढूँढना जो दोनों को एक साथ सच बनाए।
यह अध्याय तुम्हें तीन औज़ार देता है और, उतना ही ज़रूरी, उनके पीछे की तस्वीर। हर समीकरण एक सरल रेखा है; युग्म हल करना यानी पूछना कि दोनों रेखाएँ कहाँ मिलती हैं। कभी वे एक बिंदु पर मिलती हैं (एक हल), कभी समांतर चलती हैं (कोई हल नहीं), कभी एकदम वही रेखा होती हैं (अनगिनत हल)। एक बार यह दिख जाए, तो बिना कोई बीजगणित किए ही तुम जवाब का प्रकार बता सकते हो — और फिर प्रतिस्थापन या विलोपन से ठीक-ठीक अंक निकाल सकते हो।
मूल विचार
x और y वाला हर रैखिक समीकरण एक सरल रेखा है। युग्म का हल वह बिंदु (x, y) है जो दोनों रेखाओं पर हो — तो युग्म हल करना यानी ढूँढना कि दोनों रेखाएँ कहाँ मिलती हैं। दो रेखाएँ एक बिंदु पर मिल सकती हैं (अद्वितीय हल), कभी न मिलें (समांतर → कोई हल नहीं), या एक-दूसरे पर ही पड़ी हों (संपाती → अनगिनत)। गुणांकों के अनुपात तुम्हें कुछ खींचने से पहले ही बता देते हैं कि कौन-सा हाल है।
आओ इसे समझें
रैखिक समीकरण युग्म क्या है
किसी दो चर वाले रैखिक समीकरण का रूप ax + by + c = 0 होता है (जहाँ a और b दोनों शून्य न हों) — इसका आलेख एक सरल रेखा है। युग्म बस इनमें से दो हैं:
a₁x + b₁y + c₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂ = 0
हल मानों का वह जोड़ा (x, y) है जो दोनों समीकरणों को संतुष्ट करे। मेले में अखिला को लो: अगर उसने x बार झूला झूला (₹3 प्रति बार) और y बार हुप्ला खेला (₹4 प्रति बार), कुल ₹20 ख़र्च किए, और खेल झूलों के आधे थे, तो y = x/2 और 3x + 4y = 20 — दो समीकरण, दो अनजान।
आलेखीय विधि: रेखाएँ कहाँ मिलती हैं?
दोनों रेखाएँ एक ही अक्षों पर खींचो। जो बिंदु वे साझा करती हैं, वही हल है। यह रहा एक हल किया हुआ हाल — रेखाएँ x + 3y = 6 और 2x − 3y = 12:
चूँकि दो सरल रेखाएँ सिर्फ़ तीन तरीक़ों से बैठ सकती हैं, रैखिक समीकरण युग्म हमेशा इन तीन हालों में से एक में आता है:
| रेखाएँ | हल | नाम | अनुपात परीक्षण |
|---|---|---|---|
| प्रतिच्छेदी | ठीक एक | संगत | a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ |
| समांतर | कोई नहीं | असंगत | a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ |
| संपाती | अनगिनत | आश्रित (संगत) | a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ |
अनुपात परीक्षण क्यों चलता है (यह सिर्फ़ रटने नहीं, समझने लायक़ है)। ax + by + c = 0 को ढाल-रूप में लाओ: y = (−a/b)x − c/b, तो ढाल −a/b है और y-अंतःखंड −c/b।
- अगर a₁/a₂ ≠ b₁/b₂, तो दोनों ढाल −a₁/b₁ और −a₂/b₂ अलग हैं → रेखाएँ अलग ढंग से झुकती हैं → उन्हें एक बार मिलना ही होगा (अद्वितीय हल)।
- अगर a₁/a₂ = b₁/b₂, तो ढाल बराबर हैं → रेखाएँ या तो समांतर हैं या एक ही रेखा। अंतःखंड तय करते हैं कि कौन-सा: अगर c₁/c₂ भी बराबर है, तो समीकरण एक-दूसरे के गुणज हैं → एक ही रेखा (संपाती); अगर c₁/c₂ अलग है, तो रेखाएँ अलग समांतर हैं जो कभी नहीं मिलतीं (कोई हल नहीं)।
बिना खींचे बताओ कि हर युग्म के कितने हल हैं: (a) 9x + 3y + 12 = 0 और 18x + 6y + 24 = 0; (b) 2x − 3y = 8 और 4x − 6y = 9।
- (a) तुलना करो: a₁/a₂ = 9/18 = 1/2, b₁/b₂ = 3/6 = 1/2, c₁/c₂ = 12/24 = 1/2। तीनों बराबर।
- a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ → संपाती रेखाएँ → अनगिनत हल।
- (b) इन्हें 2x − 3y − 8 = 0 और 4x − 6y − 9 = 0 लिखो। तब a₁/a₂ = 2/4 = 1/2, b₁/b₂ = −3/−6 = 1/2, c₁/c₂ = −8/−9 = 8/9।
- यहाँ a₁/a₂ = b₁/b₂ (= 1/2) पर ≠ c₁/c₂ (= 8/9) → समांतर रेखाएँ → कोई हल नहीं (असंगत)।
आलेखीय विधि जवाब देखने के लिए बढ़िया है, पर तब बेढब हो जाती है जब मिलन-बिंदु के निर्देशांक (49/29, 19/29) जैसे उलझे हों। ठीक-ठीक जवाब के लिए हम बीजगणित की ओर मुड़ते हैं।
विधि 1 — प्रतिस्थापन
विचार: एक समीकरण से एक चर को दूसरे के पदों में लिखो, फिर दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करो, जिससे एक ही चर वाला अकेला समीकरण बचे।
7x − 15y = 2 और x + 2y = 3 हल करो।
- आसान समीकरण x + 2y = 3 से x को विषय बनाओ: x = 3 − 2y।
- 7x − 15y = 2 में रखो: 7(3 − 2y) − 15y = 2 → 21 − 14y − 15y = 2 → 21 − 29y = 2।
- तो −29y = −19, यानी y = 19/29।
- y को x = 3 − 2y में वापस रखो: x = 3 − 2(19/29) = 3 − 38/29 = (87 − 38)/29 = 49/29। तो x = 49/29, y = 19/29।
प्रतिस्थापन तब चमकता है जब किसी चर का गुणांक पहले से 1 हो (तो उसे विषय बनाना साफ़ रहता है)।
विधि 2 — विलोपन
विचार: समीकरणों को इस तरह गुणा करो कि किसी एक चर का दोनों में गुणांक बराबर हो जाए, फिर जोड़ो या घटाओ ताकि वह चर ग़ायब हो जाए।
दो व्यक्तियों की आय 9 : 7 के अनुपात में और ख़र्च 4 : 3 के अनुपात में हैं। हर एक महीने ₹2000 बचाता है। उनकी आय निकालो।
- आय 9x और 7x मानो, ख़र्च 4y और 3y। बचत = आय − ख़र्च = 2000, तो: 9x − 4y = 2000 … (1) और 7x − 3y = 2000 … (2)।
- y के गुणांक बराबर करो: (1) × 3 से 27x − 12y = 6000; (2) × 4 से 28x − 12y = 8000।
- y हटाने के लिए पहले को दूसरे से घटाओ: (28x − 27x) = 8000 − 6000 → x = 2000।
- x = 2000 को (1) में रखो: 9(2000) − 4y = 2000 → 18000 − 4y = 2000 → y = 4000। तो आय 9x = ₹18,000 और 7x = ₹14,000।
दोनों बीजगणितीय विधियाँ ख़ास हालों को भी उजागर कर देती हैं। अगर हल करते-करते हर चर कट जाए और बचे एक सच कथन जैसे 18 = 18, तो युग्म के अनगिनत हल हैं (एक ही रेखा)। अगर बचे एक झूठा कथन जैसे 0 = 9 या −4 = 0, तो युग्म का कोई हल नहीं (समांतर)।
2x + 3y = 8 और 4x + 6y = 7 पर विलोपन इस्तेमाल करो।
- x के गुणांक बराबर करो: पहले को 2 से गुणा करो → 4x + 6y = 16; दूसरा है 4x + 6y = 7।
- घटाओ: (4x − 4x) + (6y − 6y) = 16 − 7, यानी 0 = 9।
- 0 = 9 झूठा है, तो रेखाएँ समांतर हैं और युग्म का कोई हल नहीं (असंगत)। (जाँच: a₁/a₂ = b₁/b₂ = 1/2 पर c₁/c₂ = 8/7 — मेल खाता है।)
वे समीकरण जो रैखिक बन जाते हैं
कुछ समस्याएँ जैसे लिखी हों वैसे रैखिक नहीं होतीं, पर एक चतुर प्रतिस्थापन से रैखिक बन जाती हैं। मसलन 2/x + 3/y = 13 और 5/x − 4/y = −2 रैखिक बन जाते हैं अगर तुम u = 1/x और v = 1/y रखो, जिससे 2u + 3v = 13 और 5u − 4v = −2 — u, v के लिए हल करो, फिर वापस x = 1/u, y = 1/v कर लो।
आम ग़लतियाँ
रैखिक समीकरण युग्म का हमेशा ठीक एक हल होता है।
ज़्यादातर अभ्यास प्रश्न एक साफ़ जवाब देने के लिए बनाए जाते हैं, तो 'कोई हल नहीं' और 'अनगिनत' वाले हाल नज़रअंदाज़ करने लायक़ अपवाद लगते हैं।
तीन परिणाम होते हैं: एक हल (प्रतिच्छेदी), कोई नहीं (समांतर), या अनगिनत (संपाती)। हमेशा गुणांक अनुपात जाँचो — कोई युग्म आसानी से असंगत या आश्रित हो सकता है।
अगर दोनों समीकरणों का कोई साझा हल न हो और बीजगणित से 0 = 0 आए, तो इसका मतलब कोई हल नहीं।
चर ग़ायब होकर '0 = ...' मिलना एक मृत-अंत-सा लगता है, तो ऐसी कोई भी रेखा 'कोई हल नहीं' जैसी महसूस होती है।
यह इस पर निर्भर है कि बचा कथन सच है या झूठा। सच कथन (0 = 0, 18 = 18) → अनगिनत हल (एक ही रेखा)। झूठा कथन (0 = 9) → कोई हल नहीं (समांतर)। यही सच-झूठ पूरी बात है।
अनुपात परीक्षण में समांतर रेखाएँ a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ संतुष्ट करती हैं।
समांतर और संपाती दोनों रेखाएँ a₁/a₂ = b₁/b₂ से शुरू होती हैं, तो आख़िरी अनुपात गड़बड़ा जाना आसान है।
समांतर (कोई हल नहीं) है a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂। जब c₁/c₂ भी मेल खाए, तो समीकरण एक-दूसरे के गुणज हैं — वही रेखा (संपाती, अनगिनत)। c-अनुपात ही 'कभी न मिलें' को 'हमेशा मिलें' से अलग करता है।
विलोपन में, जब गुणांक बराबर हों तो हमेशा समीकरण घटाते हैं।
पाठ्यपुस्तक के उदाहरण अक्सर एक ही चिह्न वाले गुणांकों को बराबर बनाते हैं, तो घटाना आदत बन जाती है।
जब बराबर गुणांकों के चिह्न उल्टे हों तब जोड़ो (जैसे +6y और −6y → जोड़कर कटे); जब चिह्न एक जैसे हों तब घटाओ (+6y और +6y → घटाकर कटे)। जो भी चर को ग़ायब करे, वही चुनो।
झटपट जाँच
दो रेखाएँ समांतर और अलग-अलग हैं। समीकरण युग्म के कितने हल हैं?
3x + 2y = 5 और 2x − 3y = 7 के लिए, युग्म का सही वर्णन कौन-सा है?
विलोपन से युग्म हल करते समय सारे चर कट जाते हैं और 18 = 18 मिलता है। इसका क्या मतलब है?
कौन-सा प्रतिस्थापन 2/x + 3/y = 13 को रैखिक समीकरण में बदलता है?
अभ्यास प्रश्न
आसान
प्रतिस्थापन से हल करो: x + y = 14 और x − y = 4।
दूसरे समीकरण से, x = 4 + y।
पहले में रखो: (4 + y) + y = 14 → 4 + 2y = 14 → 2y = 10 → y = 5।
फिर x = 4 + 5 = 9। तो x = 9, y = 5। (जाँच: 9 + 5 = 14 ✓, 9 − 5 = 4 ✓।)
बिना हल किए बताओ कि 5x − 4y + 8 = 0 और 7x + 6y − 9 = 0 प्रतिच्छेद करती हैं, समांतर हैं, या संपाती।
a₁/a₂ = 5/7 और b₁/b₂ = −4/6 = −2/3।
चूँकि 5/7 ≠ −2/3, ढाल अलग हैं, तो रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं (अद्वितीय हल)।
मध्यम
कोच 7 बल्ले और 6 गेंदें ₹3800 में ख़रीदता है; बाद में 3 बल्ले और 5 गेंदें ₹1750 में। हर बल्ले और गेंद की क़ीमत निकालो।
बल्ले की क़ीमत ₹x और गेंद की ₹y मानो। तो 7x + 6y = 3800 … (1) और 3x + 5y = 1750 … (2)।
x हटाओ: (1) × 3 → 21x + 18y = 11400; (2) × 7 → 21x + 35y = 12250।
घटाओ: (35y − 18y) = 12250 − 11400 → 17y = 850 → y = 50।
y = 50 को (2) में रखो: 3x + 5(50) = 1750 → 3x = 1500 → x = 500।
तो बल्ले की क़ीमत ₹500 और गेंद की ₹50।
एक दो-अंकीय संख्या और उसके अंक उलटने से बनी संख्या का योग 66 है, और दोनों अंक 2 से भिन्न हैं। ऐसी सभी संख्याएँ निकालो।
दहाई का अंक x और इकाई का y मानो। संख्या 10x + y; उलटी पर 10y + x।
योग: (10x + y) + (10y + x) = 66 → 11(x + y) = 66 → x + y = 6 … (1)।
अंक 2 से भिन्न: या तो x − y = 2 या y − x = 2।
x − y = 2 और (1) के साथ: जोड़ने पर 2x = 8 → x = 4, y = 2 → संख्या 42।
y − x = 2 और (1) के साथ: जोड़ने पर 2y = 8 → y = 4, x = 2 → संख्या 24।
तो ऐसी दो संख्याएँ हैं: 42 और 24 (और सचमुच 42 + 24 = 66 ✓)।
चुनौती
k के किस मान के लिए युग्म kx + 3y = k − 3 और 12x + ky = k का कोई हल नहीं होगा?
“कोई हल नहीं” का मतलब रेखाएँ समांतर हैं: a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂।
यहाँ a₁/a₂ = k/12, b₁/b₂ = 3/k, c₁/c₂ = (k − 3)/k।
पहले दो को बराबर रखो: k/12 = 3/k → k² = 36 → k = 6 या k = −6।
अब हमें a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ चाहिए, तो हर एक जाँचो:
- k = 6: अनुपात a₁/a₂ = b₁/b₂ = 6/12 = 1/2, जबकि c₁/c₂ = (6 − 3)/6 = 1/2। तीनों बराबर → संपाती (अनगिनत), “कोई हल नहीं” नहीं। ख़ारिज।
- k = −6: a₁/a₂ = b₁/b₂ = −6/12 = −1/2, जबकि c₁/c₂ = (−6 − 3)/(−6) = −9/−6 = 3/2। यहाँ पहले दो मेल खाते हैं पर ≠ c-अनुपात → समांतर → कोई हल नहीं। ✓
तो k = −6।
सारांश
अब तुम यह समझा पाने में सक्षम हो:
- रैखिक समीकरण युग्म दो रेखाएँ a₁x + b₁y + c₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂ = 0 हैं; हल दोनों रेखाओं पर का एक बिंदु है।
- आलेखीय रूप से तीन हाल हैं: प्रतिच्छेदी (एक हल, संगत), समांतर (कोई हल नहीं, असंगत), संपाती (अनगिनत, आश्रित/संगत)।
- अनुपात परीक्षण: a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ → अद्वितीय; a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ → कोई नहीं; a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂ → अनगिनत। (यह इसलिए चलता है क्योंकि −a/b ढाल है और −c/b अंतःखंड।)
- प्रतिस्थापन: एक चर को विषय बनाओ और दूसरे समीकरण में रखो।
- विलोपन: एक चर का गुणांक बराबर करो, फिर जोड़कर/घटाकर उसे कटाओ।
- बीजगणित में बचा सच कथन → अनगिनत हल; झूठा कथन → कोई हल नहीं।
- कुछ ग़ैर-रैखिक युग्म u = 1/x, v = 1/y जैसे प्रतिस्थापन से रैखिक बन जाते हैं।
आगे क्या
अब तक हर समीकरण घात 1 का रहा — सरल रेखाएँ। अब, द्विघात समीकरण में, चर का वर्ग हो जाता है (ax² + bx + c = 0)। एक समीकरण, एक अनजान, पर अब आलेख एक परवलय है, तो दो हल हो सकते हैं, एक, या कोई नहीं — और तुम मशहूर द्विघात सूत्र सीखोगे जो उन्हें हर बार निकाल देता है।