बहुपद
यह क्यों ज़रूरी है
बहुपद (polynomial) बस एक व्यंजक है जो किसी चर से जोड़, घटाव और पूर्ण-संख्या घातों के ज़रिए बनता है — जैसे x² − 3x − 4। ये पूरे गणित और विज्ञान के काम के घोड़े हैं: फेंकी गई गेंद का रास्ता, फैलते वर्गाकार बाग़ का क्षेत्रफल, क़ीमत बदलने पर किसी दुकान का मुनाफ़ा — सब बहुपदों से बयान होते हैं।
किसी बहुपद के बारे में सबसे अहम सवाल यह है: x के किस मान पर यह 0 हो जाता है? वे ख़ास इनपुट इसके शून्यक (zeroes) कहलाते हैं, और वे हर जगह छिपे होते हैं — वह पल जब गेंद ज़मीन छूती है, किसी कारोबार की लाभ-हानि-शून्य क़ीमत, वे बिंदु जहाँ कोई पुल का तार अपने सहारों को छूता है। लगभग हर असल समस्या आख़िर में किसी शून्यक को ढूँढने पर ही आ टिकती है।
इस अध्याय में तुम दो ख़ूबसूरत बातें देखोगे। पहली, शून्यकों की एक तस्वीर होती है: ये ठीक वे जगहें हैं जहाँ बहुपद का आलेख x-अक्ष को काटता है। दूसरी, शून्यक चुपके से गुणांकों से बँधे होते हैं — कुछ हल किए बिना ही, x के आगे लगे अंक तुम्हें शून्यकों का योग और गुणनफल बता देते हैं। यह छिपा रिश्ता बार-बार काम बचाएगा।
मूल विचार
किसी बहुपद p(x) का शून्यक x का वह मान है जो p(x) = 0 बना दे। आलेख पर देखें तो शून्यक ठीक वे x-अंतःखंड हैं — जहाँ y = p(x) x-अक्ष को मिलता है। और शून्यक गुणांकों से स्वतंत्र नहीं होते: किसी द्विघात ax² + bx + c के लिए शून्यकों का योग है −b/a और गुणनफल है c/a।
आओ इसे समझें
बहुपद, घात और शून्यक
किसी बहुपद की घात (degree) चर की उसकी सबसे ऊँची घात होती है। घात से हम आम प्रकारों को नाम देते हैं:
| घात | नाम | व्यापक रूप | उदाहरण |
|---|---|---|---|
| 1 | रैखिक | ax + b | 2x − 3 |
| 2 | द्विघात | ax² + bx + c | x² − 3x − 4 |
| 3 | त्रिघात | ax³ + bx² + cx + d | 2x³ − 5x² − 14x + 8 |
(हर हाल में a ≠ 0 — वरना अग्रणी पद ग़ायब हो जाएगा और घात गिर जाएगी।) 1/x या √x + 2 जैसे व्यंजक बहुपद नहीं हैं: घातें पूर्ण संख्याएँ होनी चाहिए।
x = k पर p(x) का मान, जिसे p(k) लिखते हैं, वह है जो x = k रखने पर मिलता है। कोई वास्तविक संख्या k शून्यक है अगर p(k) = 0। मसलन p(x) = x² − 3x − 4 के लिए:
- p(−1) = (−1)² − 3(−1) − 4 = 1 + 3 − 4 = 0, और
- p(4) = 16 − 12 − 4 = 0,
तो −1 और 4, x² − 3x − 4 के शून्यक हैं।
किसी रैखिक बहुपद ax + b के लिए, ax + b = 0 रखने पर एकमात्र शून्यक x = −b/a मिलता है — यह पहले से ही इशारा है कि शून्यक और गुणांक जुड़े हैं।
शून्यक का ज्यामितीय अर्थ
यह रही वह तस्वीर जो सब साफ़ कर देती है। अगर तुम y = p(x) खींचो, तो शून्यक ठीक वे x-निर्देशांक हैं जहाँ आलेख x-अक्ष को काटता (या छूता) है — क्योंकि अक्ष को काटने का मतलब y = 0, यानी p(x) = 0।
कोई द्विघात हमेशा एक परवलय (parabola) के रूप में बनता है — एक चिकना U-आकार जो a > 0 पर ऊपर की ओर और a < 0 पर नीचे की ओर खुलता है। देखो कैसे x² − 3x − 4 के शून्यक (जो हमने −1 और 4 पाए) उसके दो x-अंतःखंडों के रूप में दिखते हैं:
चूँकि परवलय x-अक्ष के सापेक्ष सिर्फ़ तीन तरीक़ों से बैठ सकता है, द्विघात के या तो दो, एक, या कोई वास्तविक शून्यक नहीं होते:
यही एक अहम तथ्य के पीछे की ज्यामिति है:
घात n वाले बहुपद के अधिकतम n शून्यक होते हैं — क्योंकि उसका आलेख x-अक्ष को अधिकतम n बार काट सकता है। तो द्विघात के अधिकतम 2 और त्रिघात के अधिकतम 3 शून्यक होते हैं।
y = p(x) का एक आलेख x-अक्ष को ठीक 3 बिंदुओं पर काटता है और p(x) एक त्रिघात है। इसके कितने शून्यक हैं, और क्या यह संभव है?
- शून्यक x-अंतःखंड हैं, और आलेख x-अक्ष को 3 बिंदुओं पर मिलता है, तो p(x) के 3 शून्यक हैं।
- त्रिघात की घात 3 है, और घात-n बहुपद के अधिकतम n शून्यक होते हैं — तो अधिकतम 3।
- 3 शून्यक त्रिघात के लिए ठीक-ठीक अधिकतम है, तो हाँ, यह संभव है (इस त्रिघात के उतने ही शून्यक हैं जितने ज़्यादा-से-ज़्यादा हो सकते हैं)।
शून्यक गुणांकों से बँधे हैं
अब हैरानी की बात। कोई भी द्विघात लो और उसका गुणनखंडन करो — मसलन p(x) = 2x² − 8x + 6 = 2(x − 1)(x − 3), तो इसके शून्यक 1 और 3 हैं। देखो गुणांक क्या “जानते” हैं:
- शून्यकों का योग = 1 + 3 = 4 = −(−8)/2 = −b/a
- शून्यकों का गुणनफल = 1 × 3 = 3 = 6/2 = c/a
यह संयोग नहीं — यह हर द्विघात के लिए सच है, और हम इसे सिद्ध कर सकते हैं।
अगर α और β, p(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) के शून्यक हैं, तो दिखाओ कि α + β = −b/a और αβ = c/a।
- अगर α और β शून्यक हैं, तो (x − α) और (x − β) गुणनखंड हैं, तो अग्रणी गुणांक a के साथ ax² + bx + c = a(x − α)(x − β)।
- दाहिनी ओर फैलाओ: a(x − α)(x − β) = a[x² − (α + β)x + αβ] = ax² − a(α + β)x + aαβ।
- इसे ax² + bx + c से पद-दर-पद मिलाओ: x के गुणांक से b = −a(α + β), और अचर पद से c = aαβ।
- a से भाग दो: α + β = −b/a और αβ = c/a। ∎ (योग = −b/a, गुणनफल = c/a — याद रखने लायक़।)
एक आसान टोटका: योग = −(x का गुणांक)/(x² का गुणांक) और गुणनफल = (अचर पद)/(x² का गुणांक)।
x² + 7x + 10 के शून्यक निकालो और योग व गुणनफल को गुणांकों से जाँचो।
- गुणनखंडन करो: x² + 7x + 10 = (x + 2)(x + 5)। तो यह x = −2 या x = −5 पर शून्य है — शून्यक −2 और −5 हैं।
- यहाँ a = 1, b = 7, c = 10। शून्यकों का योग = −2 + (−5) = −7, और −b/a = −7/1 = −7। ✓
- शून्यकों का गुणनफल = (−2)(−5) = 10, और c/a = 10/1 = 10। ✓ संबंध टिकता है।
यह रिश्ता दोनों तरफ़ चलता है — अगर तुम्हें योग और गुणनफल दिए हों, तो तुम द्विघात बना सकते हो, क्योंकि जिसके शून्यकों का योग S और गुणनफल P हो, वह बहुपद है x² − Sx + P (a = 1 लेकर)।
ऐसा द्विघात बहुपद निकालो जिसके शून्यकों का योग −3 और गुणनफल 2 हो।
- x² − (योग)x + (गुणनफल) इस्तेमाल करो। यहाँ योग = −3 और गुणनफल = 2।
- तो बहुपद है x² − (−3)x + 2 = x² + 3x + 2।
- गुणनखंडन से जाँचो: x² + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2), शून्यक −1 और −2 — योग −3 ✓, गुणनफल 2 ✓। (कोई भी गुणज k(x² + 3x + 2) भी चलेगा।)
त्रिघात के लिए वही विचार
कोई त्रिघात ax³ + bx² + cx + d जिसके शून्यक α, β, γ हों, तीन मिलते-जुलते संबंध मानता है (वैसे ही सिद्ध, a(x − α)(x − β)(x − γ) फैलाकर):
- α + β + γ = −b/a (शून्यकों का योग)
- αβ + βγ + γα = c/a (दो-दो के गुणनफलों का योग)
- αβγ = −d/a (शून्यकों का गुणनफल)
चिह्नों का पैटर्न देखो: −b/a, फिर +c/a, फिर −d/a, गुणांकों के साथ नीचे बढ़ते हुए बारी-बारी।
आम ग़लतियाँ
बहुपद के 'शून्यक' का मतलब x = 0 पर बहुपद का मान, यानी p(0) है।
'शून्यक' शब्द सहज ही x = 0 का ख़याल दिलाता है, और p(0) निकालना भी आसान है, तो दोनों आपस में गड़बड़ा जाते हैं।
शून्यक वह इनपुट x है जो आउटपुट p(x) = 0 बना दे — p(x) = 0 का हल। p(0) तो बस x = 0 पर मान है (अचर पद, y-अंतःखंड) और आम तौर पर शून्य नहीं होता।
ax² + bx + c के लिए शून्यकों का योग b/a और गुणनफल −c/a होता है।
सूत्रों में b/a और c/a आते हैं, तो यह भूल जाना आसान है कि ऋण चिह्न किस पर लगता है।
असल में योग = −b/a (ऋण योग पर है) और गुणनफल = +c/a। झटपट जाँच: x² − 5x + 6 के शून्यक 2 और 3 हैं — योग 5 = −(−5)/1 ✓, गुणनफल 6 = 6/1 ✓।
हर द्विघात के दो वास्तविक शून्यक होते हैं (आलेख हमेशा x-अक्ष को दो बार काटता है)।
ज़्यादातर पाठ्यपुस्तक के द्विघात ऐसे चुने जाते हैं जो दो वास्तविक शून्यकों में आसानी से गुणनखंडित हों, तो यही आम बात लगती है।
परवलय अक्ष को बस छू भी सकता है (एक दोहरा शून्यक) या पूरी तरह चूक भी सकता है (कोई वास्तविक शून्यक नहीं) — जैसे x² + 1, जो किसी भी वास्तविक x के लिए कभी 0 नहीं होता। द्विघात के अधिकतम दो वास्तविक शून्यक होते हैं, पर एक या शून्य भी हो सकते हैं।
x² + 1 के शून्यक 1 और −1 हैं।
x² − 1 का गुणनखंडन (x−1)(x+1) है जिसके शून्यक ±1 हैं, और x² + 1 लगभग वैसा ही दिखता है, तो चिह्न फिसल जाता है।
x² + 1 = 0 के लिए x² = −1 चाहिए, जिसे कोई वास्तविक संख्या पूरा नहीं करती — इसके कोई वास्तविक शून्यक नहीं (इसका परवलय पूरा अक्ष के ऊपर बैठता है)। ±1 शून्यक तो x² − 1 के हैं।
झटपट जाँच
इनमें से कौन-सा बहुपद नहीं है?
जिस बहुपद का आलेख x-अक्ष को x = 2 और x = −5 पर काटता है, उसके शून्यक क्या हैं?
द्विघात 3x² + 5x − 2 के शून्यकों का योग क्या है?
किसी त्रिघात बहुपद के अधिकतम कितने शून्यक हो सकते हैं?
अभ्यास प्रश्न
आसान
4u² + 8u के शून्यक निकालो और गुणांकों से संबंध जाँचो।
गुणनखंडन करो: 4u² + 8u = 4u(u + 2)। यह u = 0 या u + 2 = 0 पर शून्य है, तो शून्यक 0 और −2 हैं।
यहाँ a = 4, b = 8, c = 0। योग = 0 + (−2) = −2, और −b/a = −8/4 = −2 ✓।
गुणनफल = 0 × (−2) = 0, और c/a = 0/4 = 0 ✓।
ऐसा द्विघात बहुपद निकालो जिसके शून्यकों का योग 0 और गुणनफल −15 हो।
x² − (योग)x + (गुणनफल) = x² − (0)x + (−15) = x² − 15 इस्तेमाल करो।
जाँच: x² − 15 = 0 से x = ±√15 मिलता है, जिनका योग 0 ✓ और गुणनफल −15 ✓।
मध्यम
6x² − 7x − 3 के शून्यक निकालो और योग व गुणनफल को गुणांकों से जाँचो।
मध्य पद तोड़ो: 6x² − 7x − 3 = 6x² − 9x + 2x − 3 = 3x(2x − 3) + 1(2x − 3) = (3x + 1)(2x − 3)।
शून्यक: 3x + 1 = 0 → x = −1/3; और 2x − 3 = 0 → x = 3/2। तो शून्यक −1/3 और 3/2 हैं।
यहाँ a = 6, b = −7, c = −3। योग = −1/3 + 3/2 = −2/6 + 9/6 = 7/6, और −b/a = 7/6 ✓।
गुणनफल = (−1/3)(3/2) = −3/6 = −1/2, और c/a = −3/6 = −1/2 ✓।
x² − 3 के शून्यक निकालो और शून्यकों व गुणांकों का संबंध जाँचो।
सर्वसमिका a² − b² = (a − b)(a + b) इस्तेमाल करो: x² − 3 = (x − √3)(x + √3)।
तो यह x = √3 या x = −√3 पर शून्य है — शून्यक √3 और −√3 हैं।
यहाँ a = 1, b = 0, c = −3। योग = √3 + (−√3) = 0, और −b/a = 0 ✓।
गुणनफल = (√3)(−√3) = −3, और c/a = −3/1 = −3 ✓।
चुनौती
अगर α और β, x² − 5x + 6 के शून्यक हैं, तो α और β अलग-अलग निकाले बिना α² + β² का मान निकालो।
गुणांकों से: α + β = −(−5)/1 = 5, और αβ = 6/1 = 6।
सर्वसमिका α² + β² = (α + β)² − 2αβ इस्तेमाल करो। इससे हम सिर्फ़ योग और गुणनफल से जवाब दे सकते हैं।
α² + β² = (5)² − 2(6) = 25 − 12 = 13।
(जाँच: शून्यक 2 और 3 हैं, और 2² + 3² = 4 + 9 = 13 ✓। बात यह है कि हमें उन्हें हल करने की ज़रूरत ही नहीं पड़ी।)
सारांश
अब तुम यह समझा पाने में सक्षम हो:
- किसी बहुपद की घात उसकी सबसे ऊँची घात है; घात 1, 2, 3 क्रमशः रैखिक, द्विघात, त्रिघात हैं (द्विघात का व्यापक रूप ax² + bx + c, a ≠ 0)।
- शून्यक वह इनपुट k है जिसके लिए p(k) = 0 — p(0) से अलग।
- ज्यामितीय रूप से, p(x) के शून्यक वे x-निर्देशांक हैं जहाँ y = p(x) x-अक्ष को मिलता है।
- द्विघात एक परवलय के रूप में बनता है (a > 0 पर ऊपर, a < 0 पर नीचे) और उसके दो, एक या कोई वास्तविक शून्यक नहीं होते; घात n वाले बहुपद के अधिकतम n शून्यक होते हैं।
- द्विघात ax² + bx + c के लिए: शून्यकों का योग = −b/a, गुणनफल = c/a (दोनों a(x − α)(x − β) फैलाकर सिद्ध)।
- उल्टा करो: दिए गए योग S और गुणनफल P वाला द्विघात है x² − Sx + P।
- त्रिघात ax³ + bx² + cx + d के लिए: α + β + γ = −b/a, αβ + βγ + γα = c/a, αβγ = −d/a।
आगे क्या
अब तुम जानते हो कि शून्यक वहाँ हैं जहाँ आलेख x-अक्ष को मिलता है। अब, दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म में, हम एक ही अक्षों पर दो सरल रेखाओं के आलेख रखते हैं और पूछते हैं कि वे आपस में कहाँ मिलती हैं — वह बिंदु जो दोनों समीकरणों को एक साथ संतुष्ट करे। वही तस्वीर-और-बीजगणित वाला विचार, एक आयाम ऊपर।