वास्तविक संख्याएँ
यह क्यों ज़रूरी है
तुम जो भी संख्या कभी देखोगे, वह कुछ नन्हे “बुनियादी टुकड़ों” — जिन्हें अभाज्य (prime) संख्याएँ कहते हैं — से बनी होती है, और ठीक एक ही तरीक़े से बनी होती है। यह एक बात चुपचाप रोज़मर्रा की कई चीज़ों के पीछे काम कर रही है: इसी वजह से तुम्हारे ऑनलाइन बैंकिंग और UPI भुगतान सुरक्षित रहते हैं, इसी वजह से दो टिमटिमाती लाइटें या किसी रूट की दो बसें एक तय समय बाद फिर साथ आ जाती हैं, और इसी से तय होता है कि कोई भिन्न साफ़ सांत दशमलव देगी या आवर्ती।
यह अध्याय संख्याओं को अंदर से समझने के बारे में है। तुम सीखोगे कि किसी भी संख्या को उसके अभाज्य टुकड़ों में कैसे तोड़ें, उससे दो संख्याओं का म.स. (HCF) और ल.स. (LCM) झट से कैसे मिल जाता है, और आख़िर में यह सिद्ध कैसे करें — सिर्फ़ मान न लें — कि √2 जैसी संख्या को कभी किसी साफ़ भिन्न के रूप में नहीं लिखा जा सकता।
वह आख़िरी हिस्सा जितना दिखता है, उससे ज़्यादा अहम है। अब तक तुम्हारा ज़्यादातर गणित किसी उत्तर को निकालने के बारे में था। यहाँ तुम वह करोगे जो एक गणितज्ञ करता है: जो दिखाना है उसका उल्टा मान लो, तर्क से तब तक आगे बढ़ो जब तक बात एक विरोधाभास में न ढह जाए, और फिर निष्कर्ष निकालो कि तुम शुरू से सही थे। यही सोचने का तरीक़ा आगे पूरे विषय में काम आएगा।
मूल विचार
हर भाज्य (composite) संख्या अभाज्य संख्याओं का गुणनफल होती है, और — क्रम छोड़ दें तो — ऐसा गुणनफल सिर्फ़ एक ही होता है। अभाज्य संख्याएँ अंकगणित के परमाणु हैं। एक बार किसी संख्या का अभाज्य “नुस्खा” पता चल जाए, तो उसके बारे में लगभग सब कुछ (किसी और संख्या के साथ उसका म.स. और ल.स., क्या वह 0 पर ख़त्म हो सकती है, क्या उसका मूल अपरिमेय है) तुरंत निकल आता है।
आओ इसे समझें
हर संख्या अभाज्य संख्याओं से बनी है
किसी अभाज्य (prime) संख्या के ठीक दो गुणनखंड होते हैं: 1 और वह ख़ुद (2, 3, 5, 7, 11, 13, …)। किसी भाज्य (composite) संख्या के इससे ज़्यादा होते हैं (4, 6, 8, 9, …)। संख्या 1 न अभाज्य है न भाज्य।
अंकगणित की आधारभूत प्रमेय एक ऐसी बात कहती है जो सहज लगती है पर ज़बरदस्त ताक़तवर है:
हर भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है, और यह गुणनखंडन अनोखा (unique) होता है, सिवाय इसके कि अभाज्य किस क्रम में लिखे हैं।
तो 12 = 2 × 2 × 3, और 12 बनाने वाला अभाज्यों का कोई और सेट नहीं है। अभाज्य ढूँढने के लिए किसी संख्या को गुणनखंडों में बार-बार तोड़ते जाओ जब तक बचे सब अभाज्य न हो जाएँ — यही गुणनखंड वृक्ष (factor tree) है।
आम तौर पर हम अभाज्यों को बढ़ते क्रम में लिखते हैं और दोहराव को घात के रूप में जोड़ देते हैं: 3825 = 3² × 5² × 17।
इस प्रमेय के सचमुच दो हिस्से हैं। अस्तित्व — कि कोई अभाज्य गुणनखंडन होता है — मानना आसान है: गुणनखंड वृक्ष हमेशा ख़त्म होता है, क्योंकि हर बँटवारा संख्याओं को छोटा करता जाता है जब तक सिर्फ़ अभाज्य न बचें। अनोखापन — कि ऐसा अभाज्यों का सेट सिर्फ़ एक ही होता है — गहरा और ताक़तवर हिस्सा है। (इसकी पूरी उपपत्ति कक्षा 10 से परे है, पर यही वह हिस्सा है जिस पर हम नीचे अगली प्रमेय और मूलों की अपरिमेयता सिद्ध करने में टिकते हैं।)
156 को उसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखो।
- 156 सम है, तो 2 बाहर निकालो: 156 = 2 × 78।
- 78 भी सम है: 78 = 2 × 39। अब तक 156 = 2 × 2 × 39।
- 39 = 3 × 13, और 13 अभाज्य है, तो यहीं रुक जाते हैं।
- अभाज्य इकट्ठा करने पर: 156 = 2² × 3 × 13।
म.स. और ल.स. सीधे पढ़ लेना
एक बार दो संख्याएँ अभाज्य-घात रूप में आ जाएँ, तो उनका म.स. (महत्तम समापवर्तक, HCF) और ल.स. (लघुत्तम समापवर्त्य, LCM) बिना अंदाज़ा लगाए मिल जाता है:
- म.स. = हर उस अभाज्य की सबसे छोटी घात का गुणनफल जो दोनों संख्याओं में आता है (साझा हिस्सा)।
- ल.स. = हर उस अभाज्य की सबसे बड़ी घात का गुणनफल जो किसी भी एक संख्या में आता है (मिलाजुला हिस्सा)।
| म.स. (साझा गुणनखंड) | ल.स. (साझा गुणज) | |
|---|---|---|
| कौन-से अभाज्य | सिर्फ़ जो दोनों में हों | जो किसी भी एक में हों |
| कौन-सी घात | सबसे छोटी | सबसे बड़ी |
| आकार | ≤ दोनों संख्याओं से | ≥ दोनों संख्याओं से |
| ऐसे सोचो | सबसे बड़ी टाइल जो दोनों में फ़िट हो | जब दो चक्र अगली बार साथ आएँ |
96 और 404 का म.स. और ल.स. निकालो।
- हर एक का गुणनखंडन करो: 96 = 2⁵ × 3, और 404 = 2² × 101।
- म.स.: दोनों में बस अभाज्य 2 साझा है; उसकी सबसे छोटी घात 2² है। तो म.स. = 2² = 4।
- ल.स.: हर अभाज्य को उसकी सबसे बड़ी घात पर लो — 2⁵, 3 और 101। तो ल.स. = 2⁵ × 3 × 101 = 32 × 303 = 9696।
- तो म.स.(96, 404) = 4 और ल.स.(96, 404) = 9696।
दो संख्याओं के लिए एक प्यारा शॉर्टकट है: जो हिस्सा तुम म.स. में डालते हो और जो ल.स. में, वे दोनों मिलकर हर अभाज्य को ठीक एक बार इस्तेमाल कर लेते हैं, इसलिए
म.स.(a, b) × ल.स.(a, b) = a × b
इससे जैसे ही म.स. पता हो, ल.स. तुरंत निकाला (या जाँचा) जा सकता है। ऊपर वाली जाँच देखो: 4 × 9696 = 38784 = 96 × 404। ✓
दिया है कि म.स.(306, 657) = 9, तो ल.स.(306, 657) निकालो।
- दो संख्याओं के लिए म.स. × ल.स. = गुणनफल, तो ल.स. = (306 × 657) / म.स.।
- 306 × 657 = 201042। म.स. यानी 9 से भाग दो: ल.स. = 201042 / 9।
- 201042 / 9 = 22338, तो ल.स.(306, 657) = 22338।
सावधानी: म.स. × ल.स. = गुणनफल वाला नियम सिर्फ़ दो संख्याओं के लिए चलता है। तीन संख्याओं के लिए म.स.(a, b, c) × ल.स.(a, b, c) आम तौर पर a × b × c के बराबर नहीं होता।
अनोखेपन से किसी सवाल का दो-टूक जवाब
चूँकि किसी संख्या का अभाज्य नुस्खा एकमात्र होता है, तुम कुछ बातों को पूरी तरह ख़ारिज कर सकते हो। कोई संख्या 0 पर तभी ख़त्म होती है जब वह 10 = 2 × 5 से विभाज्य हो — यानी तभी जब उसके गुणनखंडन में 2 और 5 दोनों आएँ।
क्या कोई प्राकृत संख्या n ऐसी है जिसके लिए 6ⁿ अंक 0 पर ख़त्म हो?
- 0 पर ख़त्म होने के लिए संख्या को 10 = 2 × 5 से विभाज्य होना होगा, यानी उसके अभाज्य गुणनखंडन में 5 आना चाहिए।
- पर 6ⁿ = (2 × 3)ⁿ = 2ⁿ × 3ⁿ। यहाँ बस अभाज्य 2 और 3 हैं — कभी 5 नहीं।
- अंकगणित की आधारभूत प्रमेय के अनोखेपन से, 6ⁿ का कोई और अभाज्य गुणनखंड नहीं है, तो 5 कभी आ ही नहीं सकता।
- तो किसी भी प्राकृत संख्या n के लिए 6ⁿ कभी अंक 0 पर ख़त्म नहीं हो सकती।
कुछ संख्याएँ भिन्न के रूप में क्यों नहीं लिखी जा सकतीं
किसी परिमेय (rational) संख्या को p/q के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ p, q पूर्णांक हैं और q ≠ 0। किसी अपरिमेय (irrational) संख्या को नहीं लिखा जा सकता। अपरिमेय संख्याएँ कोई अजीब या “अवास्तविक” चीज़ नहीं हैं — वे संख्या रेखा पर असली बिंदु हैं। मसलन √2 बस एक 1 × 1 वर्ग के विकर्ण की लंबाई है (पाइथागोरस से, 1² + 1² = 2, तो विकर्ण √2 है)। उस विकर्ण को परकार से नीचे घुमाओ तो वह 1 और 2 के बीच एक तय जगह पर आ बैठता है:
किसी संख्या को अपरिमेय सिद्ध करने के लिए हम विरोधाभास द्वारा उपपत्ति इस्तेमाल करते हैं: मान लो कि वह परिमेय है, फिर दिखाओ कि यह मान्यता एक असंभव बात पर जा पहुँचती है।
पहले एक छोटी-सी बात चाहिए — और चूँकि यह एक प्रमेय है, इसकी उपपत्ति यह रही (यह अंकगणित की आधारभूत प्रमेय के अनोखेपन वाले हिस्से पर टिकती है):
प्रमेय। अगर कोई अभाज्य p, a² को विभाजित करता है, तो p, a को भी विभाजित करता है (जहाँ a एक धन पूर्णांक है)।
दिखाओ कि जब भी कोई अभाज्य p, a² को विभाजित करता है, तो उसे a को भी विभाजित करना ही होगा।
- a को उसके अभाज्य गुणनखंडन में लिखो: a = p₁ × p₂ × … × pₙ (इसके अभाज्य बुनियादी टुकड़े, ज़रूरी नहीं कि अलग-अलग हों)।
- वर्ग करो: a² = (p₁ × p₂ × … × pₙ)² = p₁² × p₂² × … × pₙ²। तो a² में आने वाले अभाज्य ठीक p₁, p₂, …, pₙ हैं — a वाले वही अभाज्य।
- हमें बताया गया है कि अभाज्य p, a² को विभाजित करता है। अभाज्य गुणनखंडन के अनोखेपन से, a² के अंदर सिर्फ़ p₁, …, pₙ ही अभाज्य हैं, तो p उन्हीं में से एक होना चाहिए।
- पर p₁, …, pₙ ठीक a के अभाज्य हैं — तो p, a को विभाजित करता है। ∎ (यही नन्ही प्रमेय हर “मूल अपरिमेय है” वाली उपपत्ति के अंदर का इंजन है।)
सिद्ध करो कि √2 को किसी भिन्न के रूप में नहीं लिखा जा सकता।
- उल्टा मान लो: √2 = a/b, जहाँ a और b पूर्णांक हैं जिनमें कोई साझा गुणनखंड नहीं (भिन्न निम्नतम रूप में है) और b ≠ 0।
- तो b√2 = a। दोनों ओर वर्ग करो: 2b² = a²। तो 2, a² को विभाजित करता है, और ऊपर वाली बात से 2, a को विभाजित करता है। लिखो a = 2c।
- रखो: 2b² = (2c)² = 4c², तो b² = 2c²। अब 2, b² को विभाजित करता है, तो 2, b को भी विभाजित करता है।
- पर अब 2, a और b दोनों को विभाजित करता है — उनमें गुणनखंड 2 साझा है। यह “कोई साझा गुणनखंड नहीं” का खंडन करता है। हमने सिर्फ़ इतना माना था कि √2 परिमेय है, तो वही ग़लत होगा: √2 अपरिमेय है।
बिल्कुल यही तर्क (2 की जगह 3, या 5, या किसी भी अभाज्य के साथ) √3, √5, … को अपरिमेय सिद्ध करता है। और एक बार √3 का अपरिमेय होना पता चल जाए, तो 5 − √3 या 3√2 जैसे जोड़-गुणन को भी अपरिमेय दिखाया जा सकता है — उन्हें परिमेय मानकर तब तक फिर से जमाओ जब तक कोई पहले से ज्ञात अपरिमेय किसी भिन्न के बराबर होने को मजबूर न हो जाए।
यह देखते हुए कि √3 अपरिमेय है, सिद्ध करो कि 5 − √3 अपरिमेय है।
उल्टा मान लो: 5 − √3 परिमेय है, माना 5 − √3 = a/b, जहाँ a, b पूर्णांक हैं (b ≠ 0)।
मूल को अलग करने के लिए फिर से जमाओ: √3 = 5 − a/b = (5b − a)/b।
दाहिनी ओर पूर्णांकों का अंतर और भागफल है, तो वह परिमेय है। इससे √3 परिमेय बन जाएगा — पर हमें बताया गया है कि √3 अपरिमेय है। विरोधाभास।
तो हमारी मान्यता ग़लत थी: 5 − √3 अपरिमेय है।
आम ग़लतियाँ
संख्या 1 एक अभाज्य संख्या है (इसके गुणनखंड 1 और ख़ुद हैं)।
अभाज्य को 'सिर्फ़ 1 और ख़ुद से विभाज्य' कहकर बताया जाता है, और 1 इस वाक्य में ढीले-ढाले तौर पर फ़िट बैठ जाता है — 1, 1 से और 1 से विभाज्य है।
किसी अभाज्य के ठीक दो अलग गुणनखंड होने चाहिए। 1 का सिर्फ़ एक गुणनखंड है (ख़ुद), तो 1 न अभाज्य है न भाज्य। (अगर 1 को अभाज्य मानें तो अभाज्य गुणनखंडन अनोखा नहीं रहेगा — तुम ऊपर से कितने भी 1 चिपका सकते हो।)
ल.स. के लिए सबसे छोटी घातें लो, और म.स. के लिए सबसे बड़ी घातें।
दोनों नियम 'अभाज्यों की घातों' के बारे में हैं, और चूँकि वे एक-दूसरे के आईने जैसे हैं, हर एक पर ग़लत शब्द चिपका देना आसान है।
असल में उल्टा है: म.स. हर साझा अभाज्य की सबसे छोटी घात लेता है (साझा गुणनखंड उससे बड़ा नहीं हो सकता जो दोनों में है); ल.स. हर अभाज्य की सबसे बड़ी घात लेता है (साझा गुणज में हर एक का पूरा हिस्सा होना चाहिए)।
म.स. × ल.स. = संख्याओं का गुणनफल किसी भी संख्याओं के सेट के लिए चलता है।
यह एक साफ़, याद रह जाने वाला नियम है और दो संख्याओं के लिए सचमुच चलता है, तो इसे तीन तक बढ़ा देना स्वाभाविक लगता है।
यह सिर्फ़ दो संख्याओं के लिए चलता है। तीन संख्याओं के लिए म.स.(a,b,c) × ल.स.(a,b,c) आम तौर पर a × b × c नहीं होता — 6, 72, 120 से जाँचो: म.स. = 6, ल.स. = 360, और 6 × 360 = 2160, पर 6 × 72 × 120 इससे कहीं बड़ा है।
√2 के अपरिमेय होने को सिद्ध करने के लिए बस √2 = 1.41421356… निकालो और देख लो कि दशमलव कभी नहीं दोहराता।
न दोहराने वाला दशमलव अपरिमेयता का संकेत देता तो है, और कैलकुलेटर का परदा यक़ीन दिलाने वाला अंतहीन-सा दिखता है।
कैलकुलेटर सिर्फ़ एक सीमित टुकड़ा दिखाता है — तुम कभी देख ही नहीं सकते कि दशमलव कभी नहीं दोहराता। अपरिमेयता विरोधाभास से सिद्ध करनी होती है (मानो √2 = a/b निम्नतम रूप में, फिर निकालो कि a और b में साझा गुणनखंड है, विरोधाभास)।
झटपट जाँच
अंकगणित की आधारभूत प्रमेय किसी भाज्य संख्या के बारे में क्या पक्का करती है?
अगर 90 = 2 × 3² × 5 और 24 = 2³ × 3, तो म.स.(90, 24) क्या है?
दो संख्याओं के लिए म.स. = 9 और ल.स. = 90। उन दो संख्याओं का गुणनफल क्या है?
7 × 11 × 13 + 13 एक भाज्य संख्या क्यों है?
अभ्यास प्रश्न
आसान
5005 को उसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखो।
5005, 5 पर ख़त्म होती है, तो 5 से भाग दो: 5005 = 5 × 1001।
1001 = 7 × 143, और 143 = 11 × 13।
तो 5005 = 5 × 7 × 11 × 13 (चारों अभाज्य हैं)।
26 और 91 का म.स. और ल.स. निकालो, और जाँचो कि म.स. × ल.स. = गुणनफल।
26 = 2 × 13 और 91 = 7 × 13।
म.स.: बस साझा अभाज्य 13 है, तो म.स. = 13।
ल.स.: हर अभाज्य सबसे बड़ी घात पर = 2 × 7 × 13 = 182।
जाँच: म.स. × ल.स. = 13 × 182 = 2366, और 26 × 91 = 2366। ✓
मध्यम
एक गोलाकार ट्रैक है। सोनिया एक चक्कर में 18 मिनट लेती है और रवि 12 मिनट। वे एक ही बिंदु से साथ शुरू करते हैं। कितने मिनट बाद वे फिर शुरुआती बिंदु पर मिलेंगे?
वे शुरुआती बिंदु पर फिर तभी मिलेंगे जब बीता समय दोनों के चक्कर-समय का पूरा गुणज हो — यानी 18 और 12 का ल.स.।
18 = 2 × 3² और 12 = 2² × 3।
ल.स. = सबसे बड़ी घातें = 2² × 3² = 4 × 9 = 36 मिनट।
(36 मिनट बाद सोनिया ने 36/18 = 2 चक्कर और रवि ने 36/12 = 3 चक्कर पूरे किए, दोनों शुरुआत पर।)
समझाओ कि 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 एक भाज्य संख्या क्यों है।
दोनों पदों में 5 का गुणनखंड साझा है। पहला पद, 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1, में साफ़ तौर पर 5 है, और दूसरा पद ख़ुद 5 है।
5 बाहर निकालो: 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 = 5 × (7 × 6 × 4 × 3 × 2 × 1 + 1) = 5 × (1008 + 1) = 5 × 1009।
यह दो पूर्णांकों का गुणनफल है जिनमें से हर एक 1 से बड़ा है, तो यह भाज्य है।
चुनौती
यह देखते हुए कि √5 अपरिमेय है, सिद्ध करो कि 3 + 2√5 अपरिमेय है।
उल्टा मान लो: 3 + 2√5 परिमेय है, माना 3 + 2√5 = a/b, जहाँ a, b पूर्णांक हैं (b ≠ 0)।
मूल को अलग करो: 2√5 = a/b − 3 = (a − 3b)/b, तो √5 = (a − 3b)/(2b)।
दाहिनी ओर सिर्फ़ पूर्णांकों से घटाव और भाग के ज़रिए बनी है, तो वह परिमेय है। इससे √5 परिमेय बन जाएगा — जो दिए गए तथ्य का खंडन करता है कि √5 अपरिमेय है।
तो मान्यता टिकती नहीं: 3 + 2√5 अपरिमेय है।
सारांश
अब तुम यह समझा पाने में सक्षम हो:
- किसी अभाज्य के ठीक दो गुणनखंड होते हैं; 1 न अभाज्य है न भाज्य।
- अंकगणित की आधारभूत प्रमेय: हर भाज्य संख्या अभाज्यों का गुणनफल है, और यह गुणनखंडन क्रम छोड़कर अनोखा होता है।
- म.स. के लिए हर साझा अभाज्य की सबसे छोटी घात गुणा करो; ल.स. के लिए हर अभाज्य की सबसे बड़ी घात।
- दो संख्याओं के लिए म.स. × ल.स. = गुणनफल — पर तीन या ज़्यादा के लिए नहीं।
- गुणनखंडन का अनोखापन कुछ संभावनाओं को ख़ारिज करने देता है (जैसे 6ⁿ कभी 0 पर ख़त्म नहीं हो सकती, क्योंकि 5 उसके अभाज्यों में कभी नहीं आता)।
- कोई संख्या अपरिमेय है अगर उसे p/q के रूप में नहीं लिखा जा सके। हम √2, √3, √5 को विरोधाभास से अपरिमेय सिद्ध करते हैं, “अगर कोई अभाज्य a² को विभाजित करता है तो वह a को भी विभाजित करता है” का उपयोग करके।
आगे क्या
अब, बहुपद में, हम संख्याओं से व्यंजकों की ओर बढ़ते हैं — x² − 5x + 6 जैसी चीज़ें। तुम देखोगे कि बहुपदों के भी “बुनियादी टुकड़े” होते हैं (उनके शून्यक, यानी वे मान जो बहुपद को 0 बनाते हैं), और इन शून्यकों व गुणांकों के बीच एक रिश्ता होता है जो यहीं मिली संरचना की गूँज है।