पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन
यह क्यों ज़रूरी है
आस-पास देखो तो शायद ही कुछ शुद्ध आकार का हो। दवा का कैप्सूल एक बेलन है जिसके दोनों सिरों पर गोल टोपी लगी है। सर्कस का तंबू एक बेलन है जिसकी छत शंकु है। ऊपर स्कूप वाला आइसक्रीम कोन शंकु जमा अर्धगोला है। पानी का टैंकर दो गुंबददार सिरों वाला बेलन है। इनमें से कोई भी कक्षा 9 वाला अकेला ठोस नहीं है — हर एक दो या तीन ठोसों को जोड़कर बना संयोजन है।
तो तंबू को कितना कैनवास चाहिए? कैप्सूल में कितनी दवा आती है? खिलौने पर कितना पेंट लगेगा? तुम्हें हर मूल ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन पहले से आता है। यह अध्याय बस एक नए कौशल का है: जब ठोस जुड़े हों, तो उन जाने-पहचाने जवाबों को सही तरीक़े से जोड़ना कैसे है।
और एक दूसरा, सुंदर विचार भी है। जब तुम किसी धातु के गोले को पिघलाकर साँचे में डालकर तार बनाते हो, तो धातु ग़ायब नहीं होती — उसका आयतन वही रहता है। यही एक तथ्य (“आयतन संरक्षित रहता है”) तुम्हें “दोबारा ढालने” वाली पूरी समस्याओं को बिना किसी नए सूत्र के हल करने देता है।
मूल विचार
जब ठोस जोड़े जाते हैं, तो दो अलग नियम लगते हैं। पृष्ठीय क्षेत्रफल के लिए सिर्फ़ खुली (बाहर दिखने वाली) सतहें जोड़ो — जोड़ के अंदर छिपी सतहें ग़ायब हो जाती हैं, इसलिए तुम टुकड़ों के पूरे पृष्ठीय क्षेत्रफल नहीं जोड़ते। आयतन के लिए बस सभी टुकड़ों के आयतन जोड़ो — कुछ खोता नहीं। और जब एक ठोस को पिघलाकर दूसरे आकार में ढाला जाए, तो आयतन संरक्षित रहता है: पहले का आयतन = बाद का आयतन, भले ही आकार (और पृष्ठीय क्षेत्रफल) पूरी तरह बदल जाए।
आओ इसे समझें
पहले, वे मूल सूत्र जिन्हें तुम जोड़ोगे
इस अध्याय की हर समस्या इन्हीं पाँच ठोसों से बनती है। यहाँ r त्रिज्या है, h ऊँचाई, और l शंकु की तिरछी ऊँचाई, जहाँ l = √(r² + h²)। CSA यानी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (सिर्फ़ गोल बग़लें) और TSA यानी कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (हर सतह, समतल सिरों समेत)। ये सब कक्षा 9 से हैं — यह तालिका साथ रखो।
| ठोस | CSA | TSA | आयतन |
|---|---|---|---|
| बेलन | 2πrh | 2πrh + 2πr² | πr²h |
| शंकु | πrl | πrl + πr² | (1/3)πr²h |
| गोला | 4πr² | 4πr² | (4/3)πr³ |
| अर्धगोला | 2πr² | 2πr² + πr² = 3πr² | (2/3)πr³ |
| घन / घनाभ | — | 6a² / 2(lb+bh+hl) | a³ / l×b×h |
दो बातें ध्यान दो। अर्धगोले की दो अलग सतहें होती हैं: उसका वक्र भाग 2πr² है और उसका समतल गोल मुँह πr², तो उसका कुल पृष्ठ 3πr² है। तुम कौन-सा इस्तेमाल करोगे, यह इस पर निर्भर है कि वह समतल मुँह खुला है या जोड़ में दबा है। साथ ही गोले के लिए CSA और TSA बराबर होते हैं (गेंद का कोई समतल मुँह नहीं होता)।
एक शंकु की आधार त्रिज्या 3 cm और ऊँचाई 4 cm है। उसकी तिरछी ऊँचाई l क्या है?
संयोजन का पृष्ठीय क्षेत्रफल — सिर्फ़ खुले भाग जोड़ो
जब तुम दो ठोस आपस में चिपकाते हो, तो जोड़ पर जो सतहें छूती हैं वे बाहर से ग़ायब हो जाती हैं — जो मुँह अंदर छिपा हो उसे तुम पेंट कर ही नहीं सकते। तो नियम है: सिर्फ़ उन भागों का पृष्ठीय क्षेत्रफल जोड़ो जो अब भी दिखते हैं।
एक “रॉकेट” लो — बेलन पर बैठा शंकु। बेलन का ऊपरी गोला शंकु के नीचे छिपा है, और शंकु का कोई अलग आधार नहीं है (वह बेलन में मिल जाता है)। बाहर जो बचता है वह है शंकु का वक्र पृष्ठ जमा बेलन का वक्र पृष्ठ (और, अगर तुम पेंदी भी पेंट करो, तो बेलन का आधार गोला)।
एक तंबू बेलन है जिसके ऊपर शंकु है। बेलन वाला भाग 2.1 m ऊँचा और व्यास 4 m का है, और शंकुनुमा छत की तिरछी ऊँचाई 2.8 m है। बनाने में लगने वाले कैनवास का क्षेत्रफल निकालो (फ़र्श ढँकना नहीं है)। π = 22/7 लो।
- त्रिज्या r = 4/2 = 2 m। बेलन की ऊँचाई h = 2.1 m, शंकु की तिरछी ऊँचाई l = 2.8 m। कैनवास शंकु के वक्र पृष्ठ और बेलन के वक्र पृष्ठ को ढँकता है — फ़र्श और छिपा जोड़ छोड़ दिए जाते हैं।
- शंकु का CSA = πrl = (22/7) × 2 × 2.8 = (22 × 5.6)/7 = 123.2/7 = 17.6 m²।
- बेलन का CSA = 2πrh = 2 × (22/7) × 2 × 2.1 = (2 × 22 × 4.2)/7 = 184.8/7 = 26.4 m²।
- कैनवास का क्षेत्रफल = 17.6 + 26.4 = 44 m²।
कभी-कभी कोई टुकड़ा जोड़ने के बजाय खोदकर निकाला जाता है। घन में काटा गया अर्धगोलाकार खोखला घन के ऊपरी मुँह से गोला हटा देता है पर अर्धगोले का अंदरूनी वक्र भाग जोड़ देता है — वही सिद्धांत, बस यह हिसाब रखना है कि कौन-सी सतहें दिखती हैं और कौन-सी ग़ायब होती हैं।
एक सजावटी गुटका 5 cm भुजा का घन है जिसके ऊपर 4.2 cm व्यास का अर्धगोला जड़ा है। गुटके का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालो। π = 22/7 लो।
- अकेले घन का TSA = 6a² = 6 × 5 × 5 = 150 cm²। पर अर्धगोला ऊपरी मुँह पर बैठा है, और r = 4.2/2 = 2.1 cm त्रिज्या का एक गोला छिपा देता है।
- गुटके का पृष्ठ = घन का TSA − अर्धगोले का आधार गोला + अर्धगोले का वक्र पृष्ठ = 6a² − πr² + 2πr² = 6a² + πr²।
- πr² = (22/7) × 2.1 × 2.1 = (22 × 4.41)/7 = 97.02/7 = 13.86 cm²।
- कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 150 + 13.86 = 163.86 cm²। (ध्यान दो: यह 150 + अर्धगोले का पूरा पृष्ठ नहीं है — दबा गोला घटाया, फिर वक्र भाग जोड़ा।)
संयोजन का आयतन — बस आयतन जोड़ो
आयतन ज़्यादा सीधा बर्ताव करता है। जब तुम ठोस जोड़ते हो, तो जोड़ पर कोई आयतन नहीं खोता, तो कुल आयतन बस टुकड़ों के आयतनों का योग है। और अगर कोई भाग खोदकर निकाला गया हो, तो उस भाग का आयतन घटाओ।
एक खिलौना अर्धगोला है जिसके ऊपर शंकु है। शंकु की ऊँचाई 2 cm और साझा आधार व्यास 4 cm है। खिलौने का आयतन निकालो। π = 3.14 लो।
- त्रिज्या r = 4/2 = 2 cm (शंकु और अर्धगोले द्वारा साझा)। शंकु की ऊँचाई h = 2 cm। कुल आयतन = शंकु का आयतन + अर्धगोले का आयतन।
- शंकु का आयतन = (1/3)πr²h = (1/3) × 3.14 × 2² × 2 = (1/3) × 3.14 × 8 = 25.12/3 ≈ 8.37 cm³।
- अर्धगोले का आयतन = (2/3)πr³ = (2/3) × 3.14 × 2³ = (2/3) × 3.14 × 8 = 50.24/3 ≈ 16.75 cm³।
- कुल आयतन = 8.37 + 16.75 = 25.12 cm³ (= ठीक 25.12 cm³, क्योंकि (1/3 + 2/3)×3.14×8 = 3.14×8 यहाँ साफ़ बैठ जाता है)।
एक गिलास अंदरूनी व्यास 5 cm और ऊँचाई 10 cm का बेलन है, पर उसकी पेंदी में अर्धगोलाकार उभार है जो धारिता घटा देता है। असली धारिता निकालो। π = 3.14 लो।
- त्रिज्या r = 5/2 = 2.5 cm। आभासी धारिता (गुंबद को छोड़कर) बेलन का आयतन है; असली धारिता वह घटा वह अर्धगोला जो उसमें ऊपर धकेला गया है।
- आभासी धारिता = πr²h = 3.14 × 2.5 × 2.5 × 10 = 3.14 × 62.5 = 196.25 cm³।
- अर्धगोले का आयतन = (2/3)πr³ = (2/3) × 3.14 × 2.5³ = (2/3) × 3.14 × 15.625 = 98.125 × 2/3 ≈ 32.71 cm³।
- असली धारिता = 196.25 − 32.71 = 163.54 cm³।
ठोसों का रूपांतरण — आयतन संरक्षित रहता है
यह रहा दूसरा बड़ा विचार। अगर तुम मिट्टी का लोंदा (या कुछ धातु पिघलाकर) लेकर उसे किसी और चीज़ में दोबारा ढालो, तो सामान की मात्रा नहीं बदलती — सिर्फ़ उसका आकार बदलता है। तो:
मूल ठोस का आयतन = नए ठोस का आयतन।
यही “गोला पिघलाकर तार / छोटी गेंदें / शंकु बनाया” वाली समस्याओं का पूरा राज़ है। दोनों आयतन बराबर रखो और अनजान माप के लिए हल करो। पृष्ठीय क्षेत्रफल, बेशक, बदल जाता है — पर आयतन तुम्हारा पुल है।
4.2 cm त्रिज्या का ठोस धातु का गोला पिघलाकर 6 cm त्रिज्या के ठोस बेलन में ढाला जाता है। बेलन की ऊँचाई निकालो। π = 22/7 लो।
- धातु न बढ़ती है न घटती, तो गोले का आयतन = बेलन का आयतन: (4/3)πR³ = πr²h, जहाँ R = 4.2 cm (गोला) और r = 6 cm (बेलन)।
- दोनों ओर से π हटाओ: (4/3) × 4.2³ = 6² × h, यानी (4/3) × 74.088 = 36h।
- (4/3) × 74.088 = 98.784, तो 98.784 = 36h।
- h = 98.784 / 36 = 2.744 cm। (आकार पूरी तरह बदला, पर आयतन बराबर रहा — हमें बस यही एक समीकरण चाहिए था।)
3 cm त्रिज्या की गोलाकार गेंद पिघलाकर 0.5 cm त्रिज्या की छोटी गोलाकार गेंदों में ढाली जाती है। कितनी छोटी गेंदें बनती हैं?
- कुल धातु संरक्षित है, तो बड़े गोले का आयतन = छोटी गेंदों की संख्या × एक छोटी गेंद का आयतन। संख्या को n मानो।
- (4/3)π × 3³ = n × (4/3)π × (0.5)³। दोनों ओर से (4/3)π कट जाता है — जब दोनों आकार गोले हों तो हमेशा कटता है।
- 3³ = n × 0.5³ → 27 = n × 0.125।
- n = 27 / 0.125 = 216 छोटी गेंदें।
एक ठोस को पिघलाकर अलग आकार में ढाला जाता है। कौन-सी राशि निश्चित रूप से वही रहेगी — उसका आयतन या उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल?
आम ग़लतियाँ
संयुक्त ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल अलग-अलग टुकड़ों के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफलों का योग होता है।
हर टुकड़े का साफ़-सुथरा TSA सूत्र होता है, तो TSA + TSA जोड़ना उन्हें 'मिलाने' का स्वाभाविक तरीक़ा लगता है।
जोड़ पर की सतहें छिपी होती हैं और उन्हें गिनना नहीं चाहिए। सिर्फ़ खुली सतहें जोड़ो — आम तौर पर वक्र भाग जमा कोई दिखता समतल मुँह। बेलन पर शंकु के लिए यह πrl + 2πrh है, न कि (πrl + πr²) + (2πrh + 2πr²)।
हर समस्या में अर्धगोले का पृष्ठ 2πr² ही लो।
2πr² वही सूत्र है जो तुमने अर्धगोले के लिए रटा था, तो वही एकमात्र सही जवाब लगता है जिसे डालना है।
अर्धगोले का एक वक्र भाग (2πr²) भी होता है और एक समतल गोल मुँह (πr²) भी (कुल 3πr²)। जब सिर्फ़ गुंबद दिखे तब 2πr² लो, पर जब समतल मुँह भी खुला हो तब 3πr² (वक्र + समतल) — और जब वह समतल मुँह जोड़ में दब जाए तब πr² घटाओ।
एक ठोस को दूसरे में पिघलाते समय उनके पृष्ठीय क्षेत्रफल बराबर रखो।
दोबारा ढालने के बाद दोनों चीज़ें 'देखने में' एक जैसी लगती हैं, और पृष्ठीय क्षेत्रफल वही राशि है जिसे तुमने पूरा अध्याय निकाला, तो उसे बराबर रखना सही लगता है।
पिघलाने में आयतन संरक्षित रहता है, पृष्ठीय क्षेत्रफल नहीं। हमेशा 'पहले का आयतन = बाद का आयतन' लिखो। आकार बदलने पर पृष्ठीय क्षेत्रफल बदलता है — वह संरक्षित राशि नहीं है।
जब तक अंक सही हों, cm की लंबाई को m की लंबाई में जोड़ा जा सकता है, या cm³ को m³ में मिलाया जा सकता है।
गणना फिर भी कैलकुलेटर पर 'चल जाती' है, तो इकाई की चूक पकड़ में नहीं आती।
गणना से पहले सब कुछ एक ही इकाई में बदलो। 1 m = 100 cm, तो 1 m³ = 100³ = 10,00,000 cm³ (न कि 100)। साथ ही पहले व्यास को आधा करके त्रिज्या बनाओ — कई ग़लतियाँ असल में 'r की जगह d लगा दिया' होती हैं।
जल्दी जाँच
एक शंकु उसी त्रिज्या के बेलन पर बैठा है (रॉकेट जैसा आकार)। बाहर के कैनवास/पेंट का क्षेत्रफल (आधार छोड़कर) कौन देता है?
एक ठोस अर्धगोला मेज़ पर समतल-मुँह नीचे रखा है, तो सिर्फ़ उसका गुंबद दिखता है। उसका खुला पृष्ठीय क्षेत्रफल कौन-सा है?
एक धातु का घन पिघलाकर गोले में ढाला जाता है। क्या वही रहता है?
किसी कैप्सूल (बेलन जिसके हर सिरे पर एक अर्धगोला चिपका है) का आयतन निकालने के लिए तुम्हें:
अभ्यास प्रश्न
आसान
64 cm³ आयतन वाले दो घन सिरे-से-सिरा जोड़े जाते हैं। बने घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालो।
हर घन का आयतन 64 = a³, तो भुजा a = 4 cm।
दो घन सिरे-से-सिरा जोड़ने पर एक घनाभ बनता है जिसकी लंबाई 8 cm, चौड़ाई 4 cm, ऊँचाई 4 cm है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl) = 2(8×4 + 4×4 + 4×8) = 2(32 + 16 + 32) = 2 × 80 = 160 cm²।
(ध्यान दो यह 2 × 96 = 192 cm² नहीं है, यानी दोनों घनों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का योग नहीं — चिपके दोनों मुँह ग़ायब हो जाते हैं।)
एक खिलौना 3.5 cm त्रिज्या का शंकु है जो उसी त्रिज्या के अर्धगोले पर बैठा है। खिलौने की कुल ऊँचाई 15.5 cm है। उसका कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालो। π = 22/7 लो।
त्रिज्या r = 3.5 cm। अर्धगोले की ऊँचाई उसकी त्रिज्या जितनी = 3.5 cm, तो शंकु की ऊँचाई h = 15.5 − 3.5 = 12 cm।
तिरछी ऊँचाई l = √(r² + h²) = √(3.5² + 12²) = √(12.25 + 144) = √156.25 = 12.5 cm।
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = शंकु का CSA + अर्धगोले का CSA = πrl + 2πr² = (22/7) × 3.5 × 12.5 + 2 × (22/7) × 3.5 × 3.5 = (22/7) × 3.5 × (12.5 + 2 × 3.5) = (22/7) × 3.5 × 19.5 = 11 × 19.5 = 214.5 cm²।
मध्यम
एक बर्तन खोखले अर्धगोले के ऊपर खोखला बेलन है। अर्धगोले का व्यास 14 cm और बर्तन की कुल ऊँचाई 13 cm है। बर्तन का अंदरूनी पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालो। π = 22/7 लो।
त्रिज्या r = 14/2 = 7 cm। अर्धगोले की गहराई उसकी त्रिज्या जितनी = 7 cm, तो बेलन की ऊँचाई h = 13 − 7 = 6 cm।
अंदरूनी पृष्ठ = बेलन का अंदरूनी वक्र पृष्ठ + अर्धगोले का अंदरूनी वक्र पृष्ठ = 2πrh + 2πr² = 2 × (22/7) × 7 × 6 + 2 × (22/7) × 7 × 7 = 2 × (22/7) × 7 × (6 + 7) = 2 × 22 × 13 = 572 cm²।
6 cm त्रिज्या और 15 cm ऊँचाई का बेलनाकार पात्र आइसक्रीम से भरा है, जिसे 10 एक-जैसे शंकुओं में बाँटा जाता है, हर शंकु के ऊपर उसी त्रिज्या का अर्धगोला है। अगर हर शंकु की ऊँचाई 12 cm है, तो आइसक्रीम कोन की त्रिज्या निकालो। π = 22/7 लो।
सारी आइसक्रीम संरक्षित है: बेलन का आयतन = 10 × (एक शंकु का आयतन + एक अर्धगोला)।
बेलन का आयतन = πR²H = π × 6² × 15 = π × 36 × 15 = 540π cm³।
एक शंकु + अर्धगोला (त्रिज्या r, शंकु ऊँचाई 12) = (1/3)πr²(12) + (2/3)πr³ = 4πr² + (2/3)πr³।
तो 540π = 10 × [4πr² + (2/3)πr³]। π हटाओ: 540 = 40r² + (20/3)r³।
r = 3 आज़माओ: 40(9) + (20/3)(27) = 360 + 180 = 540 ✓।
तो हर आइसक्रीम कोन की त्रिज्या 3 cm है।
चुनौती
एक गुलाब जामुन बेलन जैसा है जिसके हर सिरे पर एक अर्धगोला है। उसकी कुल लंबाई 5 cm और व्यास 2.8 cm है। उसमें उसके आयतन का लगभग 30% तक चाशनी होती है। ऐसे 45 गुलाब जामुनों में लगभग कितनी चाशनी है, निकालो। π = 22/7 लो।
त्रिज्या r = 2.8/2 = 1.4 cm। दोनों अर्धगोले लंबाई का 2 × 1.4 = 2.8 cm घेरते हैं, तो बेलन की लंबाई h = 5 − 2.8 = 2.2 cm।
एक गुलाब जामुन का आयतन = πr²h + (4/3)πr³ (दो अर्धगोले = एक गोला) = (22/7) × 1.4² × 2.2 + (4/3) × (22/7) × 1.4³ = (22/7) × 1.96 × 2.2 + (4/3) × (22/7) × 2.744 = 13.55 + 11.50 ≈ 25.05 cm³।
45 गुलाब जामुनों का आयतन ≈ 45 × 25.05 = 1127.25 cm³।
चाशनी इसका 30% है: 0.30 × 1127.25 ≈ 338 cm³ (लगभग 338 cm³ चाशनी)।
120 cm ऊँचाई और 60 cm त्रिज्या का ठोस शंकु 60 cm त्रिज्या के अर्धगोले पर खड़ा है। यह ठोस पानी से भरे बेलन (त्रिज्या 60 cm, ऊँचाई 180 cm) में सीधा इस तरह रखा है कि वह पेंदी को छूता है। बेलन में बचे पानी का आयतन निकालो। π = 3.14 लो।
जो पानी बचता है वह बेलन के आयतन में से ठोस का आयतन घटाकर मिलता है।
बेलन का आयतन = πr²h = 3.14 × 60² × 180 = 3.14 × 3600 × 180 = 20,34,720 cm³।
ठोस का आयतन = शंकु + अर्धगोला = (1/3)πr²h + (2/3)πr³ = (1/3) × 3.14 × 60² × 120 + (2/3) × 3.14 × 60³ = (1/3) × 3.14 × 3600 × 120 + (2/3) × 3.14 × 2,16,000 = 4,52,160 + 4,52,160 = 9,04,320 cm³।
बचा पानी = 20,34,720 − 9,04,320 = 11,30,400 cm³ (= 1.1304 m³)।
सारांश
अब तुम्हें यह समझाना आना चाहिए:
- ठोसों का संयोजन दो या अधिक मूल ठोसों (घनाभ, घन, बेलन, शंकु, गोला, अर्धगोला) को जोड़कर बना होता है।
- संयोजन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = सिर्फ़ खुली सतहों का योग। जोड़ की सतहें ग़ायब हो जाती हैं, तो वक्र भाग (और कोई दिखता समतल मुँह) जोड़ो — पूरे TSA नहीं।
- संयोजन का आयतन = सभी टुकड़ों के आयतनों का योग; किसी खोदे हुए भाग का आयतन घटाओ।
- एक अर्धगोले का वक्र पृष्ठ 2πr² और समतल मुँह πr² होता है (कुल 3πr²) — खुली सतहों के अनुसार सही चुनो।
- मुख्य मूल सूत्र: बेलन πr²h, 2πrh; शंकु (1/3)πr²h, πrl जहाँ l = √(r² + h²); गोला (4/3)πr³, 4πr²; अर्धगोला (2/3)πr³, 2πr²।
- ठोसों का रूपांतरण: पिघलाकर दोबारा ढालने से आयतन संरक्षित रहता है — अनजान माप या संख्या के लिए पहले का आयतन = बाद का आयतन रखो।
- गणना से पहले हमेशा एक ही इकाई में बदलो और त्रिज्या (व्यास नहीं) इस्तेमाल करो।
आगे क्या
इस अध्याय में तुमने आकारों को नापा। अगले अध्याय सांख्यिकी में तुम आकारों से हटकर आँकड़ों की ओर बढ़ोगे — संख्याओं की बड़ी सूचियाँ — और उन्हें एक प्रतिनिधि मान से सारांशित करना सीखोगे। तुम वर्गीकृत आँकड़ों का माध्य, माध्यिका और बहुलक निकालोगे, ठीक उसी सावधान, व्यवस्थित गणना पर आधारित जो तुमने यहाँ अभ्यास की।