प्रायिकता
यह क्यों ज़रूरी है
क्रिकेट मैच से पहले कप्तान एक सिक्का उछालते हैं। हर कोई इसे निष्पक्ष क्यों मान लेता है? क्योंकि एक निष्पक्ष सिक्के के चित आने की संभावना उतनी ही है जितनी पट आने की — किसी टीम को कोई फ़ायदा नहीं। यही रोज़मर्रा का छोटा-सा विचार इस पूरे अध्याय का दिल है: जब कुछ परिणाम समसंभावी हों, तो हम हर एक के “कितने संभव” होने पर एक ठीक-ठीक संख्या रख सकते हैं।
वह संख्या एक प्रायिकता है — संयोग का माप जो 0 (कभी नहीं होता) से 1 (हमेशा होता है) तक चलता है। मौसम का पूर्वानुमान, बीमा की किस्त, खेल में दाँव, यहाँ तक कि छोड़े गए उपग्रह के विफल होने की उम्मीद — ये सब प्रायिकता पर टिके हैं। वैज्ञानिक, डॉक्टर और अर्थशास्त्री रोज़ इस पर भरोसा करते हैं जब भविष्य अनिश्चित होता है।
कक्षा IX में तुमने प्रायिकता बहुत बार प्रयोग करके और गिनकर निकाली थी — एक सिक्का 1000 बार उछालकर देखना कि चित कितनी बार आया। यह दमदार है, पर तुम हर प्रयोग दोहरा नहीं सकते (विफलता आँकने के लिए तुम उपग्रह को हज़ार बार नहीं छोड़ सकते)। यह अध्याय एक समझदार रास्ता लेता है: जब परिणाम समसंभावी हों, तो तुम बिना कोई प्रयोग किए ही प्रायिकता सीधे गणना कर सकते हो।
मूल विचार
जब किसी प्रयोग के परिणामों की एक निश्चित सूची समसंभावी हो, तो किसी घटना E की सैद्धांतिक (चिरसम्मत) प्रायिकता बस एक गिनती है: P(E) = (E के अनुकूल परिणामों की संख्या) / (सभी संभव परिणामों की कुल संख्या)। हर प्रायिकता 0 और 1 के बीच होती है: किसी असंभव घटना की प्रायिकता 0, किसी निश्चित घटना की 1 होती है। और E के न होने की संभावना बाक़ी हिस्सा भर देती है: P(E नहीं) = 1 − P(E)।
आओ इसे समझें
सैद्धांतिक प्रायिकता क्या है
पहले दो शब्द जो हम बहुत इस्तेमाल करेंगे। प्रयोग ऐसी क्रिया है जिसके एक से ज़्यादा संभव नतीजे हों (सिक्का उछालना, पासा फेंकना, ताश निकालना)। हर संभव नतीजा एक परिणाम है। घटना परिणामों का कोई भी ऐसा समूह है जिसमें हमारी रुचि हो — जैसे पासे पर “सम संख्या आना”, जो 2, 4 और 6 — ये तीन परिणाम हैं।
पूरी विधि एक ही मान्यता पर टिकी है: परिणाम समसंभावी हों — किसी परिणाम को दूसरे पर तरजीह न हो। एक निष्पक्ष सिक्का (हम कहते हैं अनभिनत), एक निष्पक्ष पासा, एक अच्छी तरह फेंटी गड्डी — सब समसंभावी परिणाम देते हैं। जब यह सही हो, तो पिएर-साइमन लाप्लास की 1795 की परिभाषा घटना E की प्रायिकता सीधे देती है:
P(E) = (E के अनुकूल परिणामों की संख्या) / (सभी संभव परिणामों की कुल संख्या)
बस इतना ही — अनुकूल बँटा कुल में। कोई प्रयोग नहीं चाहिए। एक सिक्के की एक उछाल पर दो समसंभावी परिणाम हैं चित और पट; घटना “चित” के 2 में से 1 अनुकूल परिणाम हैं, तो P(चित) = 1/2 और इसी तरह P(पट) = 1/2।
एक निष्पक्ष पासा एक बार फेंका जाता है। ज्ञात करो (i) P(4 से बड़ी संख्या आना) और (ii) P(4 से कम या उसके बराबर संख्या आना)।
- सभी संभव परिणाम गिनो — फलक 1, 2, 3, 4, 5, 6। पासा निष्पक्ष है, तो ये 6 परिणाम समसंभावी हैं, इसलिए कुल 6 है।
- (i) 4 से बड़ी संख्याएँ हैं 5 और 6 — यानी 2 अनुकूल परिणाम।
- तो P(4 से बड़ी) = 2/6 = 1/3।
- (ii) 4 से कम या बराबर संख्याएँ हैं 1, 2, 3, 4 — यानी 4 अनुकूल परिणाम। तो P(4 से कम या बराबर) = 4/6 = 2/3। (और ध्यान दो 1/3 + 2/3 = 1।)
जिस घटना में सिर्फ़ एक परिणाम हो, उसे प्रारंभिक घटना कहते हैं — जैसे “चित आना”, या “पासे पर 3 आना”। एक सुंदर तथ्य: किसी प्रयोग की सभी प्रारंभिक घटनाओं की प्रायिकताएँ जुड़कर 1 बनती हैं। पासे के लिए P(1) + P(2) + … + P(6) = 1/6 × 6 = 1।
0 से 1 का परास: निश्चित और असंभव घटनाएँ
अनुकूल गिनती न तो 0 से छोटी हो सकती है और न कुल से बड़ी, तो हर प्रायिकता 0 और 1 के बीच दबी रहती है:
0 ≤ P(E) ≤ 1
दोनों सिरों के नाम हैं। एक असंभव घटना कभी नहीं हो सकती, तो उसके 0 अनुकूल परिणाम होते हैं और P = 0। एक पासा फेंककर 8 आना असंभव है — किसी फलक पर 8 नहीं — तो P(8 आना) = 0/6 = 0। एक निश्चित घटना हमेशा होती है, तो हर परिणाम अनुकूल है और P = 1। पासे पर 7 से कम संख्या आना निश्चित है — सभी छह फलक योग्य हैं — तो P(7 से कम) = 6/6 = 1।
| घटना का प्रकार | अनुकूल परिणाम | प्रायिकता |
|---|---|---|
| असंभव घटना | 0 (कोई नहीं) | P(E) = 0 |
| कोई साधारण घटना | कुछ, पर सब नहीं | 0 < P(E) < 1 |
| निश्चित घटना | सभी | P(E) = 1 |
एक थैले में सिर्फ़ नींबू-स्वाद की मिठाइयाँ हैं। तुम बिना देखे एक निकालते हो। प्रायिकता क्या है कि वह (a) संतरा-स्वाद की है, (b) नींबू-स्वाद की है?
पूरक घटनाएँ: P(E नहीं) = 1 − P(E)
किसी भी घटना E के लिए एक साथी घटना “E नहीं” होती है — वह सब जो E में नहीं है। हम इसे E̅ लिखते हैं। मिलकर E और E̅ सभी परिणामों को बिना किसी ओवरलैप के घेर लेते हैं, तो उनकी प्रायिकताएँ जुड़कर पूरा बननी चाहिए:
P(E) + P(E नहीं) = 1, जो बदलकर बनता है P(E नहीं) = 1 − P(E)।
E और E̅ को पूरक घटनाएँ कहते हैं। यह छोटा-सा सूत्र एक बड़ा शॉर्टकट है: अक्सर जो घटना तुम चाहते हो उसे सीधे गिनना उलझा होता है, पर उसका पूरक आसान होता है। उसे गिनने के बजाय, पूरक गिनो और 1 में से घटाओ।
उदाहरण के लिए, गड्डी से एक ताश निकालने पर P(इक्का नहीं) को एक-एक परिणाम गिनना थका देता है — पर 52 ताशों में 4 इक्के हैं, तो P(इक्का) = 4/52 = 1/13, और इसलिए P(इक्का नहीं) = 1 − 1/13 = 12/13। कहीं ज़्यादा तेज़।
संगीता के टेनिस मैच जीतने की प्रायिकता 0.62 है। उसकी प्रतिद्वंद्वी रेशमा के जीतने की प्रायिकता क्या है? (मान लो कोई ड्रॉ नहीं होता।)
- दोनों में से ठीक एक जीतती है, तो “रेशमा जीते” “संगीता जीते” का पूरक है — ये पूरक घटनाएँ हैं।
- P(E नहीं) = 1 − P(E) लगाओ, जहाँ P(संगीता जीते) = 0.62।
- P(रेशमा जीते) = 1 − 0.62 = 0.38।
हल किए उदाहरण: सिक्के, पासे और ताश
ये तीन हालात बार-बार आते हैं, तो हर एक की परिणाम-सूची ज़बानी जान लेना फ़ायदेमंद है। एक सिक्के के 2 परिणाम (चित, पट)। एक पासे के 6 (फलक 1 से 6)। एक मानक गड्डी में 13-13 के 4 रंगों (suit) के 52 ताश होते हैं — हुकुम (spade) और चिड़ी (club) काले, पान (heart) और ईंट (diamond) लाल; हर रंग में इक्का, बादशाह, बेगम, गुलाम, 10, 9, …, 2 होते हैं, और बादशाह, बेगम व गुलाम मिलाकर 12 तस्वीर वाले ताश (face cards) हैं।
दो अलग-अलग सिक्के एक साथ उछाले जाते हैं। कम-से-कम एक चित आने की प्रायिकता क्या है?
- समसंभावी परिणामों को क्रमित जोड़ों (पहला सिक्का, दूसरा सिक्का) के रूप में गिनो: (चित, चित), (चित, पट), (पट, चित), (पट, पट)। कुल 4 परिणाम।
- “कम-से-कम एक चित” यानी एक चित या दो चित — अनुकूल परिणाम हैं (चित, चित), (चित, पट) और (पट, चित)। यानी 3।
- तो P(कम-से-कम एक चित) = 3/4। (पूरक से शॉर्टकट: बिना किसी चित वाला एकमात्र परिणाम (पट, पट) है, तो P(कोई चित नहीं) = 1/4 और P(कम-से-कम एक चित) = 1 − 1/4 = 3/4।)
52 ताशों की अच्छी तरह फेंटी गड्डी से एक ताश निकाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात करो कि वह (i) लाल बादशाह है, (ii) तस्वीर वाला ताश है, (iii) ईंट की बेगम है।
- अच्छी तरह फेंटा होना यानी सभी 52 ताश समसंभावी हैं, तो परिणामों की कुल संख्या 52 है।
- (i) लाल बादशाह हैं पान का बादशाह और ईंट का बादशाह — 2 ताश। तो P(लाल बादशाह) = 2/52 = 1/26।
- (ii) तस्वीर वाले ताश हैं हर 4 रंगों के बादशाह, बेगम और गुलाम — 3 × 4 = 12 ताश। तो P(तस्वीर वाला ताश) = 12/52 = 3/13।
- (iii) ईंट की बेगम ठीक एक ही है, तो P(ईंट की बेगम) = 1/52।
अब वही चर्चित दो-पासे की समस्या। जब दो पासे फेंके जाते हैं, तो परिणाम एक क्रमित जोड़ा (पहला पासा, दूसरा पासा) होता है, तो जोड़ा 1-फिर-4, जोड़ा 4-फिर-1 से अलग है। इससे 6 × 6 = 36 समसंभावी परिणाम बनते हैं — जिन्हें एक ग्रिड में सबसे अच्छा देखा जाता है:
दो पासे एक साथ फेंके जाते हैं। प्रायिकता ज्ञात करो कि ऊपरी संख्याओं का योग (i) 8 है, (ii) 13 है, (iii) 12 से कम या बराबर है।
- 6 × 6 = 36 समसंभावी परिणाम हैं (ऊपर का ग्रिड इस्तेमाल करो)।
- (i) 8 बनाने वाले जोड़े हैं 2 और 6, 3 और 5, 4 और 4, 5 और 3, 6 और 2 — यानी 5 परिणाम। तो P(योग 8) = 5/36।
- (ii) सबसे बड़ा संभव योग 6 + 6 = 12 है, तो योग 13 असंभव है — 0 अनुकूल परिणाम। P(योग 13) = 0/36 = 0।
- (iii) सभी 36 योग अधिक-से-अधिक 12 हैं, तो योग का 12 से कम या बराबर होना निश्चित घटना है। P(योग ≤ 12) = 36/36 = 1।
आम ग़लतियाँ
जिस प्रयोग के दो नतीजे हों, हर नतीजे की प्रायिकता 1/2 होती है।
चित-या-पट और कई पाठ्यपुस्तक उदाहरण सचमुच 50-50 बँटते हैं, तो 'दो विकल्प यानी बराबर संभावना' एक सुरक्षित डिफ़ॉल्ट जैसा लगता है।
P = अनुकूल/कुल तभी चलता है जब परिणाम समसंभावी हों। 4 लाल और 1 नीली गेंद वाले थैले के दो नतीजे (लाल या नीली) हैं, पर वे समसंभावी नहीं — P(लाल) = 4/5, न कि 1/2। गिनने से पहले हमेशा जाँचो कि परिणाम सचमुच समसंभावी हैं या नहीं।
दो पासे फेंकने पर योग 2, 3, 4, ..., 12 — ये 11 समसंभावी परिणाम हैं, तो हर योग की प्रायिकता 1/11 है।
ठीक 11 संभव योग हैं, तो उन्हें 11 बराबर परिणाम मानना साफ़-सुथरा और सहज लगता है।
ये 11 योग समसंभावी नहीं हैं। समसंभावी परिणाम फलकों के 36 क्रमित जोड़े हैं। योग 7 कुल 6 तरीक़ों से बनता है (6/36) जबकि योग 2 सिर्फ़ 1 तरीक़े से (1/36)। योगों को नहीं, अंतर्निहित समसंभावी परिणामों को गिनो।
दो सिक्कों से P(कम-से-कम एक चित) के लिए परिणाम 'दो चित, दो पट, या एक-एक' — तीन परिणाम — गिनो, तो हर एक की प्रायिकता 1/3।
'दो चित', 'दो पट' और 'एक-एक' सचमुच तीन चीज़ें हैं जो हो सकती हैं, तो इन्हें तीन बराबर परिणाम कहना उचित लगता है।
'एक-एक' दो तरीक़ों से हो सकता है — (चित, पट) और (पट, चित) — तो समसंभावी परिणाम चार हैं: (चित, चित), (चित, पट), (पट, चित), (पट, पट)। 'एक-एक' की प्रायिकता 2/4 है, न कि 1/3। मिश्रित परिणामों को वापस समसंभावी परिणामों में तोड़ो।
P(E नहीं) बस एक अलग भिन्न है जिसे शुरू से गिनकर निकालते हैं; P(E) का मान कोई मदद नहीं करता।
गिनना भरोसेमंद तरीक़ा लगता है, तो जो संख्या पहले से हो उसे फिर इस्तेमाल करने के बजाय पूरक को दोबारा गिनना ज़्यादा सुरक्षित जान पड़ता है।
E और E-नहीं पूरक हैं: P(E) + P(E नहीं) = 1, तो P(E नहीं) = 1 − P(E) हमेशा। अगर P(इक्का) = 1/13, तो P(इक्का नहीं) = 1 − 1/13 = 12/13 तुरंत — 48 ताश दोबारा गिनने की ज़रूरत नहीं। पूरक इस्तेमाल करो; यह तेज़ है और ग़लती से बचाता है।
झटपट जाँच
एक निष्पक्ष पासा एक बार फेंका जाता है। सम संख्या आने की प्रायिकता क्या है?
इनमें से कौन-सा किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकता?
अगर P(E) = 0.05 है, तो P(E नहीं) क्या है?
52 की अच्छी तरह फेंटी गड्डी से एक ताश निकाला जाता है। उसके तस्वीर वाला ताश होने की प्रायिकता क्या है?
अभ्यास प्रश्न
आसान
एक थैले में 3 लाल और 5 काली गेंदें हैं। एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। ज्ञात करो (i) P(लाल) और (ii) P(लाल नहीं)।
कुल गेंदें = 3 + 5 = 8, सब निकलने के लिए समसंभावी।
(i) लाल के अनुकूल = 3, तो P(लाल) = 3/8।
(ii) “लाल नहीं” “लाल” का पूरक है, तो P(लाल नहीं) = 1 − 3/8 = 5/8। (जाँच: 5 काली गेंदें हैं, तो सीधे 5/8 — मेल खाता है।)
एक पासा एक बार फेंका जाता है। प्रायिकता ज्ञात करो कि आता है (i) एक अभाज्य संख्या, (ii) 2 और 6 के बीच पड़ी एक संख्या।
6 समसंभावी परिणाम हैं 1, 2, 3, 4, 5, 6।
(i) इनमें अभाज्य हैं 2, 3 और 5 — 3 अनुकूल परिणाम। तो P(अभाज्य) = 3/6 = 1/2।
(ii) 2 और 6 के ठीक बीच की संख्याएँ हैं 3, 4 और 5 — 3 अनुकूल परिणाम। तो P = 3/6 = 1/2।
मध्यम
एक डिब्बे में 1 से 90 तक अंकित 90 चकतियाँ हैं। एक चकती यादृच्छया निकाली जाती है। प्रायिकता ज्ञात करो कि उस पर है (i) दो अंकों की संख्या, (ii) एक पूर्ण वर्ग, (iii) 5 से विभाज्य संख्या।
कुल परिणाम = 90 (हर चकती समसंभावी)।
(i) दो अंकों की संख्याएँ 10 से 90 तक हैं, यानी 90 − 9 = 81। तो P(दो अंक) = 81/90 = 9/10।
(ii) 1 से 90 तक पूर्ण वर्ग हैं 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 — यानी 9 संख्याएँ। तो P(पूर्ण वर्ग) = 9/90 = 1/10।
(iii) 1 से 90 तक 5 से विभाज्य संख्याएँ हैं 5, 10, 15, …, 90 — यानी 90 ÷ 5 = 18 संख्याएँ। तो P(5 से विभाज्य) = 18/90 = 1/5।
एक भाग्य के खेल में एक घूमता तीर संख्याओं 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 में से किसी एक पर आकर रुकता है (सब समसंभावी)। प्रायिकता ज्ञात करो कि वह दिखाता है (i) 8, (ii) एक विषम संख्या, (iii) 2 से बड़ी संख्या।
कुल समसंभावी परिणाम = 8।
(i) सिर्फ़ एक फलक 8 है, तो P(8) = 1/8।
(ii) विषम संख्याएँ हैं 1, 3, 5, 7 — 4 परिणाम। तो P(विषम) = 4/8 = 1/2।
(iii) 2 से बड़ी संख्याएँ हैं 3, 4, 5, 6, 7, 8 — 6 परिणाम। तो P(2 से बड़ी) = 6/8 = 3/4।
चुनौती
एक खेल में एक रुपये का सिक्का 3 बार उछालकर हर बार का नतीजा नोट किया जाता है। हनीफ़ तब जीतता है जब तीनों उछालों का नतीजा एक-सा हो (तीन चित या तीन पट) और बाक़ी हालात में हार जाता है। हनीफ़ के खेल हारने की प्रायिकता ज्ञात करो।
तीन उछालों के समसंभावी परिणामों को चित (H) और पट (T) के त्रिक के रूप में गिनो: HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT — यानी 2 × 2 × 2 = 8 परिणाम।
हनीफ़ “सब एक-सा” पर जीतता है: HHH और TTT — 2 परिणाम। तो P(जीत) = 2/8 = 1/4।
“हार” “जीत” का पूरक है, तो P(हार) = 1 − 1/4 = 3/4।
(सीधी गिनती से जाँच: 6 हारने वाले परिणाम हैं HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH → 6/8 = 3/4। ✓)
एक पासा दो बार फेंका जाता है। प्रायिकता ज्ञात करो कि (i) 5 किसी भी बार न आए, (ii) 5 कम-से-कम एक बार आए।
पासे को दो बार फेंकने पर 6 × 6 = 36 समसंभावी क्रमित जोड़े बनते हैं।
(i) “5 किसी भी बार न आए” यानी कोई भी फेंक 5 न हो। तब हर फेंक के 5 अनुमत मान हैं (1, 2, 3, 4, 6), तो अनुकूल परिणाम = 5 × 5 = 25। तो P(किसी भी बार 5 नहीं) = 25/36।
(ii) “5 कम-से-कम एक बार आए” “किसी भी बार 5 नहीं” का पूरक है। तो P(कम-से-कम एक 5) = 1 − 25/36 = 11/36।
(यह पूरक की ताक़त दिखाता है — “कम-से-कम एक बार” को सीधे गिनना कई हालों को जोड़ना होता, पर 1 में से आसान गिनती घटाकर यह एक पंक्ति में हो जाता है।)
सारांश
अब तुम्हें यह समझा पाना चाहिए:
- किसी घटना E की सैद्धांतिक (चिरसम्मत) प्रायिकता है P(E) = (अनुकूल परिणामों की संख्या) / (सभी संभव परिणामों की कुल संख्या), बशर्ते परिणाम समसंभावी हों।
- किसी निश्चित घटना की प्रायिकता 1 है; किसी असंभव घटना की प्रायिकता 0 है।
- हर प्रायिकता परास 0 ≤ P(E) ≤ 1 में होती है।
- प्रारंभिक घटना में सिर्फ़ एक परिणाम होता है, और किसी प्रयोग की सभी प्रारंभिक घटनाओं की प्रायिकताएँ जुड़कर 1 बनती हैं।
- किसी भी घटना E के लिए P(E) + P(E नहीं) = 1, तो P(E नहीं) = 1 − P(E); E और E-नहीं पूरक घटनाएँ हैं, और पूरक अक्सर जवाब तक का तेज़ रास्ता होता है।
- अपनी परिणाम-सूचियाँ याद रखो: सिक्के के 2 परिणाम, पासे के 6, दो पासों के 36 क्रमित जोड़े, और गड्डी में 52 ताश (13-13 के 4 रंग, 12 तस्वीर वाले ताश सहित)।
- प्रायोगिक प्रायिकता (कक्षा IX) सचमुच परीक्षण दोहराने से आती है; सैद्धांतिक प्रायिकता मान्यताओं से संभावना का पूर्वानुमान करती है। ज्यों-ज्यों परीक्षणों की संख्या बढ़ती है, दोनों और-और पास आ जाती हैं।
आगे क्या
यह तुम्हारी कक्षा 10 गणित यात्रा का आख़िरी अध्याय है — और पीछे मुड़कर देखने की एक उपयुक्त जगह। ग़ौर करो कि यह पूरे साल के सूत्रों को कैसे जोड़ता है: हर P(E) के पीछे की भिन्न और अनुपात, वह सावधान सूचीबद्ध करना और गिनना जो पहले के अध्यायों के तर्क की प्रतिध्वनि है, और 0, 1 और उनके बीच की हर चीज़ से वह सहजता जो वास्तविक संख्याओं से लेकर आगे तक चलती है। वास्तविक संख्याएँ और बहुपद से लेकर रैखिक समीकरण, द्विघात, त्रिकोणमिति, निर्देशांक ज्यामिति, क्षेत्रफल और आयतन, सांख्यिकी और अब प्रायिकता तक, हर अध्याय दुनिया को ठीक-ठीक बताने का एक और औज़ार रहा है। प्रायिकता ख़ास इसलिए है क्योंकि यह तुम्हें तब भी आत्मविश्वास से तर्क करने देती है जब तुम निश्चित नहीं हो सकते — जो ज़्यादातर असली फ़ैसलों में हालत होती है। इस गणित को लगाते रहो: अनुमान लगाओ, मॉडल बनाओ, जाँचो और पूर्वानुमान करो। अब तुम्हारे पास पूरा औज़ार-बक्सा है — जाओ, इसका इस्तेमाल करो।